《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例2] 命题“存在 $x＞1$, 使得 $2 x+a＜3$ ”是假命题, 求实数 $a$ 的取值范围.
听课记录:
[变式拓展]
若把本例中的“假命题”改为“真命题”, 求实数 $a$ 的取值范围.

答案： 命题"存在x＞1,使得2x+a＜3"是假命题,所以此命题的否定"任意x＞1,使得2x+a≥3"是真命题,因为对任意x＞1,都有2x+a＞2+a,所以2+a≥3,所以a≥1.故 a 的取值范围是[1,+∞).[变式拓展]解:由题意知"存在x＞1,使得x＜$\frac {3-a}{2}$"是真命题,故$\frac {3-a}{2}$＞1,解得a＜1.故 a 的取值范围是(-∞,1).

3. 已知命题 $p$: “ $\forall x \geq 3$, 使得 $2 x-1 \geq m$ ”是真命题, 则实数 $m$ 的取值范围是____.

答案： 解析:∀x≥3,使得2x-1≥m成立,只需m≤2×3-1=5.答案:(-∞,5]

4. 已知命题 $p: \forall x \in\{x \mid-3 \leq x \leq 2\}$, 都有 $x \in\{x \mid a-4 \leq x \leq a+5\}$, 且 $p$ 的否定是假命题, 求实数 $a$ 的取值范围.

答案： 解:因为 p 的否定是假命题,所以 p 是真命题,又∀x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},所以{x|-3≤x≤2}⊆{x|a-4≤x≤a+5},则$\left\{\begin{array}{l} a-4≤-3,\\ a+5≥2.\end{array}\right. $解得-3≤a≤1.即实数 a 的取值范围是[-3,1].