《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

题点3 对数函数模型
[例4] (2023·新课标Ⅰ卷)(多选)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp= 20×lg$\frac{p}{p_{0}}$,其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(ACD)
A.p1≥p2
B.p2＞10p3
C.p3= 100p0
D.p1≤100p2
听课记录:

答案： 选ACD 因为L$_{p}$=20×lg$\frac{p}{p_{0}}$随着p的增大而增大，且L$_{p1}$∈[60,90]，L$_{p2}$∈[50,60]，所以L$_{p1}$≥L$_{p2}$，所以p$_{1}$≥p$_{2}$，故A正确；由L$_{p}$=20×lg$\frac{p}{p_{0}}$，得p=p$_{0}$10$^{\frac{L_{p}}{20}}$，因为L$_{p3}$=40，所以p$_{3}$=p$_{0}$10$^{\frac{40}{20}}$=100p$_{0}$，故C正确；假设p$_{2}$＞10p$_{3}$，则p$_{0}$10$^{\frac{L_{p2}}{20}}$＞10p$_{0}$10$^{\frac{L_{p3}}{20}}$，所以10$^{\frac{L_{p2}}{20}-\frac{L_{p3}}{20}}$＞10，所以$\frac{L_{p2}-L_{p3}}{20}$＞1，所以L$_{p2}$-L$_{p3}$＞20，由题中表格数据知不可能成立，故B错误；因为$\frac{100p_{2}}{p_{1}}$=$\frac{100p_{0}10^{\frac{L_{p2}}{20}}}{p_{0}10^{\frac{L_{p1}}{20}}}$=10$^{\frac{L_{p2}}{20}-\frac{L_{p1}}{20}+2}$≥1，所以p$_{1}$≤100p$_{2}$，故D正确. 故选ACD.

2. 记地球与太阳的平均距离为R,地球公转周期为T,万有引力常量为G,则太阳的质量M= $\frac{4π^{2}R^{3}}{GT^{2}}$(单位:kg).由lg$\frac{R^{3}}{GT^{2}}$≈28.7,lg2≈0.3,lgπ≈0.5,计算得太阳的质量约为 (B)
A.2×1029kg
B.2×1030kg
C.3×1029kg
D.3×1030kg

答案： 选B 由题意在M=$\frac{4π^{2}R^{3}}{GT^{2}}$中两边取对数得，lg M=lg$\frac{R^{3}}{GT^{2}}$+lg 4π²=lg$\frac{R^{3}}{GT^{2}}$+2lg π+2lg 2. 因为lg$\frac{R^{3}}{GT^{2}}$≈28.7，lg 2≈0.3，lg π≈0.5，所以lg M≈28.7+2×0.5+0.3+lg 2=30+lg 2，所以M=10$^{lg M}$=10$^{30+lg 2}$=10$^{lg 2}$×10$^{30}$=2×10$^{30}$. 故选B.

3. 净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准,其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤,其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成,其结构是多层式,主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质,假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质,若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L,现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L,则PP棉滤芯的层数最少为(参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48) (A)
A.9
B.8
C.7
D.6

答案： 选A 设经过n层PP棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为y，则y=80×(1-$\frac{1}{3}$)$^{n}$=80×($\frac{2}{3}$)$^{n}$. 令80×($\frac{2}{3}$)$^{n}$≤2，解得($\frac{2}{3}$)$^{n}$≤$\frac{1}{40}$，两边取常用对数得n lg$\frac{2}{3}$≤lg$\frac{1}{40}$，即n lg$\frac{3}{2}$≥lg 40，即n(lg 3-lg 2)≥1+2lg 2. 因为lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，所以(0.48-0.30)n≥1.60，解得n≥$\frac{80}{9}$. 因为n∈N$_{+}$，所以n的最小值为9. 故选A.