《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例4] 求证:一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0有一正根和一负根的充要条件是ac ＜ 0$.
听课记录:

答案： 证明:充分性:(由ac＜0推证方程有一正根和一负根)因为ac＜0,所以一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的判别式Δ=$b^{2}-4ac＞0$,所以方程一定有两个不等实根.设两根为$x_{1},x_{2}$,则$x_{1}x_{2}=\frac {c}{a}＜0,$所以方程的两根异号.即方程$ax^{2}+bx+c=0$有一正根和一负根.必要性:(由方程有一正根和一负根推证ac＜0)因为方程$ax^{2}+bx+c=0$有一正根和一负根,设为$x_{1},x_{2}$,则由根与系数的关系得$x_{1}x_{2}=\frac {c}{a}＜0$,即ac＜0.综上可知,一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

4. 求证:一次函数$y = kx + b(k\neq 0)的图象过原点的充要条件是b = 0$.

答案： 证明:①充分性:如果b=0,那么y=kx(k≠0),当x=0时,y=0,函数图象过原点.②必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点,所以当x=0时,y=0,得0=k·0+b,所以b=0.综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.