《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

1. 下列根式与分数指数幂的互化,正确的是(D)
A.$-\sqrt{x}= (-x)^{\frac{1}{2}}$
B.$\sqrt[6]{y^{2}}= y^{\frac{1}{3}}$
C.$x^{-\frac{1}{3}}= -\frac{1}{\sqrt[3]{x}}(x\neq0)$
D.$[\sqrt[3]{(-x)^{2}}]^{\frac{3}{4}}= x^{\frac{1}{2}}(x＞0)$

答案： D

2. 将$\frac{a^{2}}{\sqrt{a\cdot\sqrt[3]{a^{2}}}}(a＞0)$表示成分数指数幂,其结果是(C)
A.$a^{\frac{1}{2}}$
B.$a^{\frac{5}{6}}$
C.$a^{\frac{7}{6}}$
D.$a^{\frac{3}{2}}$

答案： C

3. 用分数指数幂的形式表示下列各式：
(1)$\sqrt[3]{x^{2}}(x＞0)$；(2)$(\sqrt[4]{b^{\frac{2}{3}}})^{\frac{2}{3}}(b＜0)$；(3)$\sqrt{p^{6}}\cdot\sqrt{p^{5}}(p＞0)$；(4)$\frac{a^{3}}{\sqrt{a}}(a＞0)$.
解:
(1)当$ x＞0 $时,$ \sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}} $.
(2)当$ b＜0 $时,$ \left( \sqrt[4]{b^2} \right)^{\frac{2}{3}}=b^{\frac{2}{4} × \frac{2}{3}}=(-b)^{\frac{1}{3}} $.
(3)当$ p＞0 $时,$ \sqrt{p^6} \cdot \sqrt{p^5}=p^{\frac{6}{2}} \cdot p^{\frac{5}{2}}=p^{\frac{6}{2}+\frac{5}{2}}=p^{\frac{11}{2}} $.
(4)当$ a＞0 $时,$ \frac{a^3}{\sqrt{a}}=\frac{a^3}{a^{\frac{1}{2}}}=a^{3-\frac{1}{2}}=a^{\frac{5}{2}} $.

答案： 解:
(1)当$ x＞0 $时,$ \sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}} $.
(2)当$ b＜0 $时,$ \left( \sqrt[4]{b^2} \right)^{\frac{2}{3}}=b^{\frac{2}{4} × \frac{2}{3}}=(-b)^{\frac{1}{3}} $.
(3)当$ p＞0 $时,$ \sqrt{p^6} \cdot \sqrt{p^5}=p^{\frac{6}{2}} \cdot p^{\frac{5}{2}}=p^{\frac{6}{2}+\frac{5}{2}}=p^{\frac{11}{2}} $.
(4)当$ a＞0 $时,$ \frac{a^3}{\sqrt{a}}=\frac{a^3}{a^{\frac{1}{2}}}=a^{3-\frac{1}{2}}=a^{\frac{5}{2}} $.

对于任意正数 $a,b$ 和实数 $\alpha,\beta$,实数指数幂均满足下面的运算性质：
(1) $a^{\alpha}\cdot a^{\beta}=$$a^{\alpha+\beta}$；
(2) $(a^{\alpha})^{\beta}=$$a^{\alpha\beta}$；
(3) $(ab)^{\alpha}=$$a^{\alpha}b^{\alpha}$.

答案：
(1)$a^{\alpha+\beta}$
(2)$a^{\alpha\beta}$
(3)$a^{\alpha}b^{\alpha}$

1. 下列运算结果中,正确的是(A)
A.$a^{2}\cdot a^{3}= a^{5}$
B.$(-a^{2})^{3}= (-a^{3})^{2}$
C.$(\sqrt{a}-1)^{0}= 1$
D.$(-a^{2})^{3}= a^{6}$

答案： A

2. 计算 $(\pi^{\sqrt{3}})^{-\frac{\sqrt{3}}{3}}$ 的结果是( )

A.$\pi$
B.$\sqrt{\pi}$
C.$-\pi$
D.$\frac{1}{\pi}$

答案： D

3. 若 $10^{x}= 3$,$10^{y}= 4$,则 $10^{2x - y}= $$\frac{9}{4}$.

答案： $\frac{9}{4}$