《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

2. 已知函数 $ y = f(x) $ 的图象如图所示,其单调递增区间是 (C)

A.$ [-4,4] $
B.$ [-4,-3]\cup[1,4] $
C.$ [-3,1] $
D.$ [-3,4] $

答案： C

3. (多选)下列函数中,在区间 $ (0, +\infty) $ 上单调递减的是 (CD)
A.$ y = -\frac{1}{x} $
B.$ y = x $
C.$ y = -|x| $
D.$ y = 1 - x $

答案： CD

4. 若函数 $ f(x) $ 在 $ [-2,2] $ 上是增函数,则 $ f(-1) $＜$ f(2) $. (填“＞”“=”或“＜”)

答案： ＜

[例 1] 证明函数 $ f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} $ 在区间 $ (2, +\infty) $ 上单调递减.
听课记录:

答案： 证明:设∀x₁,x₂∈(2,+∞),且x₁＜x₂,则f(x₁)-f(x₂)=1/(x₁²-4)-1/(x₂²-4)=(x₂²-x₁²)/[(x₁²-4)(x₂²-4)]=(x₂-x₁)(x₂+x₁)/[(x₁²-4)(x₂²-4)].因为2＜x₁＜x₂,所以x₂-x₁＞0,x₁²＞4,x₂²＞4.所以f(x₁)-f(x₂)＞0,即f(x₁)＞f(x₂).所以函数f(x)=1/(x²-4)在(2,+∞)上单调递减.

1. 试用函数单调性的定义证明 $ f(x) = \frac{2x}{x - 1} $ 在 $ (1, +\infty) $ 上单调递减.

答案： 1.证明:易得f(x)=2+2/(x-1),设x₁＞x₂＞1,则f(x₁)-f(x₂)=2/(x₁-1)-2/(x₂-1)=2(x₂-x₁)/[(x₁-1)(x₂-1)].因为x₁＞x₂＞1,所以x₂-x₁＜0,x₁-1＞0,x₂-1＞0.所以f(x₁)＜f(x₂).所以f(x)在(1,+∞)上单调递减.