《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

1. 设集合 $A= \{$ 周长为 $4 cm$ 的正方形 $\},B = \{$ 面积为 $4 cm^2$ 的长方形 $\}$,则下列说法正确的是 (D)
A.$A,B$ 都是有限集
B.$A,B$ 都是无限集
C.$A$ 是无限集,$B$ 是有限集
D.$A$ 是有限集,$B$ 是无限集

答案： D

2. 区间 $(0,1]$ 等于 (C)

A.$\{0,1\}$
B.$\{(0,1]\}$
C.$\{x|0 ＜ x \leqslant 1\}$
D.$\{x|0 \leqslant x \leqslant 1\}$

答案： C

3. 下列集合不能用区间的形式表示的个数为 (D)
①$A = \{0,1,5,10\}$;②$\{x|2 ＜ x \leqslant 10,x \in \mathbf{N}\}$;③$\varnothing$;④$\{x|x$ 是等边三角形 $\}$;⑤$\{x|3 \leqslant x ＜ 7\}$;⑥$\{x|x ＞ 1,x \in \mathbf{Q}\}$.
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

答案： D

4. (多选)给出下列四个集合,其中为空集的是 (BCD)
A.$\{\varnothing\}$
B.$\{x \in \mathbf{R}|x^2 + x + 1 = 0\}$
C.$\left\{(x,y)\left|\begin{array}{l}y= -\dfrac{1}{x},\\ y= x,\end{array} \right.,x,y \in \mathbf{R}\right\}$
D.$\{x \in \mathbf{R}||x| ＜ 0\}$

答案： BCD

5. 若 $(a,3a - 1]$ 为一确定区间,则实数 $a$ 的取值范围是$(\frac{1}{2},+\infty)$.

答案： $(\frac{1}{2},+\infty)$

[典例]
已知集合 $A = \{x \in \mathbf{R}|ax^2 + 2x + 1 = 0,a \in \mathbf{R}\}$,若 $A$ 中只有一个元素,求 $a$ 的值.
[变式拓展]
1. 将本例中“只有一个”改为“有两个”,求 $a$ 的取值范围.
2. 将本例中“只有”改为“至多有”,求 $a$ 的取值范围.
3. 将本例中“只有”改为“至少有”,求 $a$ 的取值范围.

答案： 解:当$a=0$时,原方程变为$2x+1=0$,即$x=-\frac{1}{2}$,符合题意;当$a\neq 0$时,由$\Delta=0$,得$a=1$,此时$x=-1$.所以若A中只有一个元素,则a的值为0或1.1.解:若A中有两个元素,即关于x的方程$ax^{2}+2x+1=0$有两个不相等的实数根,所以$a\neq 0$且$\Delta=4-4a＞0$,即$a＜1$且$a\neq 0$,故a的取值范围为$\{a|a＜1$且$a\neq 0\}$.2.解:当$a\neq 0$时,若A中至多含有一个元素,则方程$ax^{2}+2x+1=0$有两个相等的实根或没有实根.由$\Delta=4-4a\leqslant 0$,得$a\geqslant 1$.当$a=0$时,由典例知方程有唯一解.所以若A中至多有一个元素,a的取值范围为$\{a|a\geqslant 1$或$a=0\}$.3.解:A中至少有一个元素,即A中有一个或两个元素.当$a\neq 0$时,由$\Delta\geqslant 0$,得$a\leqslant 1$且$a\neq 0$;当$a=0$时,由例题解析可知方程有唯一解.综上,$a\leqslant 1$.故a的取值范围为$\{a|a\leqslant 1\}$.