《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

1. 判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1) 不等式 $ax^{2}+x - 1＜0$ 是一元二次不等式. (×)
(2) 不等式 $x^{2}-5y＜0$ 是一元二次不等式. (×)
(3) 不等式 $-x^{2}-2x + 3＞0$ 是一元二次不等式. (√)

答案：
(1)×
(2)×
(3)√

2. 不等式 $3x^{2}-2x + 1＞0$ 的解集为 (D)
A.$\{x|-1＜x＜\frac{1}{3}\}$
B.$\{x|\frac{1}{3}＜x＜1\}$
C.$\varnothing$
D.$\mathbf{R}$

答案： D

3. 若关于 $x$ 的不等式 $-x^{2}+4x＞2mx$ 的解集为 $\{x|0＜x＜2\}$,则实数 $m$ 的值为 (B)
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$-2$

答案： B

4. 二次函数 $y = x^{2}-4$ 的零点是2 和-2.

答案： 2 和-2

[例 1] 解下列不等式:
$(1) -2x^{2}+x - 6＜0;$
$(2) -x^{2}+6x - 9\geq0;$
$(3) x^{2}-2x - 3＞0.$
听课记录:

答案：
解:
(1)原不等式可化为$2x^{2}-x+6＞0$.因为方程$2x^{2}-x+6=0$的判别式$\Delta=(-1)^{2}-4×2×6＜0$,所以函数$y=2x^{2}-x+6$的图象开口向上,与x轴无交点(如图1所示).观察图象可得,原不等式的解集为R.
(2)原不等式可化为$x^{2}-6x+9\leqslant0$,即$(x-3)^{2}\leqslant0$,函数$y=(x-3)^{2}$的图象如图2所示,根据图象可得,原不等式的解集为{3}.
(3)方程$x^{2}-2x-3=0$的两根是$x_{1}=-1,x_{2}=3$.函数$y=x^{2}-2x-3$的图象是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点(-1,0)和(3,0),如图3所示.观察图象可得不等式的解集为$\{x|x＜-1$或$x＞3\}$.
　　　　　　　 　　
　　　　　　　　　

1. 解不等式 $-2＜x^{2}-3x\leq10$.

答案： 解:原不等式等价于不等式组$\left\{\begin{array}{l} x^{2}-3x＞-2\quad①,\\ x^{2}-3x\leqslant10\quad②,\end{array}\right.$不等式①可化为$x^{2}-3x+2＞0$,即$(x-1)(x-2)＞0$,解得$x＞2$或$x＜1$.不等式②可化为$x^{2}-3x-10\leqslant0$,即$(x-5)(x+2)\leqslant0$,解得$-2\leqslant x\leqslant5$.故原不等式的解集为$\{x|-2\leqslant x＜1$或$2＜x\leqslant5\}$.