《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例1] 若$a,b\in\mathbf{R}$,且$ab\gt0$,则下列不等式中,恒成立的是 (D)
A.$a^{2}+b^{2}\gt2ab$
B.$a + b\geq2\sqrt{ab}$
C.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\gt\frac{2}{\sqrt{ab}}$
D.$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2$

答案： 选D 对于A,当a=b时,应有$a^2+b^2=2ab$,故A错误;对于B,C,条件ab＞0,只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B、C错误;对于D,因为ab＞0,所以$\frac{b}{a}＞0$,$\frac{a}{b}＞0$,所以$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geqslant 2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot \frac{a}{b}}=2$,当且仅当a=b时,等号成立,故D正确.

[例2] 不等式$a + 1\geq2\sqrt{a}(a\gt0)$中,等号成立的条件是 (C)
A.$a = 0$
B.$a= \frac{1}{2}$
C.$a = 1$
D.$a = 2$
听课记录：

答案： 选C 因为a＞0,根据基本不等式$\sqrt{ab}\leqslant \frac{a+b}{2}$,当且仅当a=b时,等号成立,故$a+1\geqslant 2\sqrt{a}$,当且仅当a=1时,等号成立.

1. 下列不等式等号可以取到的是 (C)
A.$\sqrt{x^{2}+5}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+5}}\geq2$
B.$x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+2}\geq2$
C.$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\geq2$
D.$|x|+3+\frac{1}{|x|+3}\geq2$

答案： 选C 对于A,因为$\sqrt{x^2+5}＞0$,所以$\sqrt{x^2+5}+\frac{1}{\sqrt{x^2+5}}\geqslant 2\sqrt{\sqrt{x^2+5}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+5}}}=2$,当且仅当$\sqrt{x^2+5}=\frac{1}{\sqrt{x^2+5}}$,即$x^2=-4$,故等号不成立,故A不符合;对于B,因为$x^2+2＞0$,所以$x^2+2+\frac{1}{x^2+2}\geqslant 2\sqrt{(x^2+2)\cdot \frac{1}{x^2+2}}=2$,当且仅当$x^2+2=\frac{1}{x^2+2}$,即$x^2=-1$,故等号不成立,故B不符合;对于C,因为$x^2＞0$,所以$x^2+\frac{1}{x^2}\geqslant 2\sqrt{x^2\cdot \frac{1}{x^2}}=2$,当且仅当$x^2=\frac{1}{x^2}$,即$x=\pm 1$时取等号,故C符合;对于D,因为$|x|+3＞0$,所以$|x|+3+\frac{1}{|x|+3}\geqslant 2\sqrt{(|x|+3)\cdot \frac{1}{|x|+3}}=2$,当且仅当$|x|+3=\frac{1}{|x|+3}$,即$|x|=-2$,故等号不成立,故D不符合.

[例3] 设$0\lt a\lt b$,则下列不等式正确的是 (B)
A.$a\lt b\lt\sqrt{ab}\lt\frac{a + b}{2}$
B.$a\lt\sqrt{ab}\lt\frac{a + b}{2}\lt b$
C.$a\lt\sqrt{ab}\lt b\lt\frac{a + b}{2}$
D.$\sqrt{ab}\lt a\lt\frac{a + b}{2}\lt b$

答案： 选B 法一:
∵0＜a＜b,
∴$a＜\frac{a+b}{2}＜b$,排除A、C两项.又$\sqrt{ab}-a=\sqrt{a}(\sqrt{b}-\sqrt{a})＞0$,即$\sqrt{ab}＞a$,排除D项,故选B.法二:取a=2,b=8,则$\sqrt{ab}=4$,$\frac{a+b}{2}=5$,所以$a＜\sqrt{ab}＜\frac{a+b}{2}＜b$. 故选B.

[例4] 已知$m = a+\frac{1}{a - 2}(a\gt2),n = 2 - b^{2}(b\neq0)$,则$m,n$之间的大小关系是m＞n。
听课记录：

答案： 解析:因为a＞2,所以a-2＞0,又因为$m=a+\frac{1}{a-2}=(a-2)+\frac{1}{a-2}+2$,所以$m\geqslant 2\sqrt{(a-2)\cdot \frac{1}{a-2}}+2=4$,当且仅当$a-2=\frac{1}{a-2}$,即a=3时,等号成立.由b≠0,得$b^2≠0$,所以$2-b^2＜2$,$n=2-b^2＜4$,综上可知m＞n.答案:m＞n

2. 设$0\lt a\lt b$,且$a + b = 1$,在下列四个数中最大的是 (B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$b$
C.$2ab$
D.$a^{2}+b^{2}$

答案： 选B
∵$ab＜(\frac{a+b}{2})^2$,
∴$ab＜\frac{1}{4}$,
∴$2ab＜\frac{1}{2}$.
∵$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}＞\frac{a+b}{2}＞0$,
∴$\sqrt{a^2+b^2}＞\frac{1}{2}$,
∴$a^2+b^2＞\frac{1}{2}$.
∵$b-(a^2+b^2)=(b-b^2)-a^2=b(1-b)-a^2=ab-a^2=a(b-a)＞0$,
∴$b＞a^2+b^2$,
∴b最大.

3. 已知$a,b,c$是两两不等的实数,则$a^{2}+b^{2}+c^{2}与ab + bc + ac$的大小关系是$a^2+b^2+c^2＞ab+bc+ac$。

答案： 解析:
∵a,b,c互不相等,
∴$a^2+b^2＞2ab$,$b^2+c^2＞2bc$,$a^2+c^2＞2ac$.
∴$2(a^2+b^2+c^2)＞2(ab+bc+ac)$,即$a^2+b^2+c^2＞ab+bc+ac$.答案:$a^2+b^2+c^2＞ab+bc+ac$