《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例1] 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.
(1) $\forall x \in \mathbf{N}, 2 x+1$ 是奇数;
(2) 存在一个 $x \in \mathbf{R}$, 使 $\frac{1}{x-1}= 0$;
(3) 对任意实数 $a,|a|＞0$;
(4) 有一个角 $\alpha$, 使 $\sin \alpha=\frac{1}{2}$.
听课记录:

答案：
(1)是全称量词命题.因为∀x∈N,2x+1 都是奇数,所以该命题是真命题.
(2)是存在量词命题.因为不存在 x∈R,使$\frac {1}{x-1}=0$成立,所以该命题是假命题.
(3)是全称量词命题.因为|0|=0,所以|a|＞0不都成立,因此,该命题是假命题.
(4)是存在量词命题.因为当α=30°时,sinα=$\frac {1}{2}$,所以该命题是真命题.

1. (2024·新课标Ⅱ卷)已知命题 $p: \forall x \in \mathbf{R},|x+1|＞1$; 命题 $q: \exists x＞0, x^3= x$, 则 (B)
A. $p$ 和 $q$ 都是真命题
B. $\neg p$ 和 $q$ 都是真命题
C. $p$ 和 $\neg q$ 都是真命题
D. $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

答案： 选 B 对于 p,取x=-1,则有|x+1|=0＜1,故 p 是假命题,¬p 是真命题.对于 q,取x=1,则有x³=1³=1=x,故 q 是真命题,¬q 是假命题.综上,¬p 和 q 都是真命题.

2. 写出下列命题的否定, 并判断它们的真假:
(1) $\forall x \in \mathbf{R}, x^2＞0$;
(2) $\exists x \in \mathbf{R}, x^2= 1$;
(3) $\exists x \in \mathbf{R}, x$ 是方程 $x^2-3 x+2= 0$ 的根;
(4) 等腰梯形的对角线垂直.

答案：
(1)命题的否定:∃x∈R,使x²≤0,因为x=0时,0²=0,所以命题的否定为真.
(2)命题的否定:∀x∈R,x²≠1,因为x=1时,x²=1,所以命题的否定为假.
(3)命题的否定:∀x∈R,x 不是方程x²-3x+2=0的根,因为x=1时,1²-3×1+2=0,即x=1为方程的根,所以命题的否定为假.
(4)命题的否定:存在一个等腰梯形的对角线不垂直,所以命题的否定是真命题.