《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例3] 为了解某市家庭用电量的情况,该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量,发现他们的月均用电量都在50 kW·h至350 kW·h之间,进行适当分组后,画出的频率分布直方图如图所示。

(1)求图中a的值；
(2)求被调查的用户中,月均用电量大于250kW·h的户数。
听课记录：

答案： 解:
(1)由频率分布直方图的性质，得(0.0024 + 0.0036 + a + 0.0044 + 0.0024 + 0.0012)×50 = 1，解得a = 0.0060.
(2)由频率分布直方图，得被调查的用户中，月均用电量大于250kW·h的频率为(0.0024 + 0.0012)×50 = 0.18，所以被调查的用户中，月均用电量大于250kW·h的户数为100×0.18 = 18.

4. 某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费。为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图。

(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由；
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由。

答案： 解:
(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5 = 0.04，同理，在[0.5,1),[1,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.
由0.04 + 0.08 + 0.5×a + 0.20 + 0.26 + 0.5×a + 0.06 + 0.04 + 0.02 = 1，解得a = 0.30.
(2)由
(1)可知，100位居民中每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06 + 0.04 + 0.02 = 0.12.
根据样本中的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12 = 36000.
(3)因为前6组的频率之和为0.04 + 0.08 + 0.15 + 0.20 + 0.26 + 0.15 = 0.88＞0.85，前5组的频率之和为0.04 + 0.08 + 0.15 + 0.20 + 0.26 = 0.73＜0.85，所以2.5≤x＜3.
由0.30×(x - 2.5) = 0.85 - 0.73，解得x = 2.9.
所以估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.