《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

3. 指出下列各题中,$p是q$的什么条件. (“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)
(1)$p$:数$a能被6$整除,$q$:数$a能被3$整除;
(2)$p$:$m ＜ 0$,$q$:一元二次方程$x^2 + (m - 3)x + m = 0$有一正根和一负根;
(3)$p$:$\triangle ABC$有两个角相等,$q$:$\triangle ABC$是正三角形;
(4)$p$:$|ab| = ab$,$q$:$ab ＞ 0$.
解:
(1)
∵p⇒q,q不能推出p,
∴p是q的充分不必要条件.
(2)记一元二次方程$x^2+(m-3)x+m=0$的两根为$x_1,x_2$,则$x_1x_2=m$,
∴方程有一正根和一负根等价于$x_1x_2＜0$,即$m＜0$，故p⇔q,∴p是q的充要条件.
(3)
∵q⇒p,p不能推出q,
∴p是q的必要不充分条件.
(4)
∵ab=0时,$|ab|=ab$,
∴"$|ab|=ab$"不能推出"ab＞0",即p不能推出q.而当ab＞0时,有$|ab|=ab$,即q⇒p.
∴p是q的必要不充分条件.

答案： 解:
(1)
∵p⇒q,q不能推出p,
∴p是q的充分不必要条件.
(2)记一元二次方程$x^2+(m-3)x+m=0$的两根为$x_1,x_2$,则$x_1x_2=m$,
∴方程有一正根和一负根等价于$x_1x_2＜0$,$x_1x_2＜0$不能推出q,p是q的充要条件.
(3)
∵p⇒q,q不能推出p,
∴p是q的必要不充分条件.
(4)
∵ab=0时,$|ab|=ab$,
∴"$|ab|=ab$"不能推出"ab＞0",即p不能推出q.而当ab＞0时,有$|ab|=ab$,即q⇒p.
∴p是q的必要不充分条件.

[例1] 使“$x\leq -\frac{1}{2}或x\geq 3$”成立的一个充分不必要条件是(C)
A.$x ＜ 0$
B.$x\geq 0$
C.$x\in\{ -1,3,5\}$
D.$x\leq -\frac{1}{2}或x\geq 3$
听课记录:

答案： 选C 对于A,x＜0不能推出x≥3或x≤$-\frac{1}{2}$,反之也不能,是其既不充分也不必要条件;对于B,x≥0不能推出x≥3或x≤$-\frac{1}{2}$,反之也不能,是其既不充分也不必要条件;对于C,x∈{-1,3,5}可以推出x≥3或x≤$-\frac{1}{2}$,反之不能,是其充分不必要条件;对于D,x≤$-\frac{1}{2}$或x≥3,是其充要条件.

[例2] 设$a,b\in R$,则“$ab + 1 = a + b$”的充要条件是(C)
A.$a,b$都为1
B.$a,b$都不为1
C.$a,b$中至少有一个为1
D.$a,b$都不为0
听课记录:

答案： 选C 由ab+1=a+b,可得(a-1)·(b-1)=0,解得a=1或b=1,故“ab+1=a+b”的充要条件是“a,b中至少有一个为1”.故选C.

1. “$a ＜ 0,b ＜ 0$”的一个必要条件为(A)
A.$a + b ＜ 0$
B.$a + b ＞ 0$
C.$\frac{a}{b} ＞ 1$
D.$\frac{a}{b} ＜ -1$

答案： 选A 对于A,因为a＜0,b＜0,所以a+b＜0,即a+b＜0是“a＜0,b＜0”的必要条件,A正确;对于B,当a＜0,b＜0时,a+b＞0不可能成立,B不正确;对于C,当a＜0,b＜0时,$\frac{a}{b}＞$1不一定成立,如a=-1,b=-2满足条件,而$\frac{a}{b}＜1$,C不正确;对于D,当a＜0,b＜0时,必有$\frac{a}{b}＞0$成立,即不能推出$\frac{a}{b}＜-1$,D不正确.故选A.

2. (多选)使$0 ＜ x ＜ 3$成立的一个充分条件是(CD)
A.$2 ＜ x\leq 3$
B.$0\leq x ＜ 1$
C.$0 ＜ x\leq 2$
D.$1 ＜ x ＜ 2$

答案： 选CD 从集合观点看,求0＜x＜3成立的一个充分条件,就是从A、B、C、D中选出集合{x|0＜x＜3}的子集.由于{x|0＜x≤2}⊆{x|0＜x＜3},{x|1＜x＜2}⊆{x|0＜x＜3},故选CD.