《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例 2] 解关于 $x$ 的不等式 $ax^{2}-2\geq2x - ax$.
听课记录:

答案： 解:原不等式可化为$ax^{2}+(a-2)x-2\geqslant0$.①当$a=0$时,原不等式化为$-x+1\leqslant0$,解得$x\leqslant-1$.②当$a＞0$时,原不等式化为$(x-\dfrac{2}{a})(x+1)\geqslant0$,解得$x\geqslant\dfrac{2}{a}$或$x\leqslant-1$.③当$a＜0$时,原不等式化为$(x-\dfrac{2}{a})(x+1)\leqslant0$.当$\dfrac{2}{a}＞-1$,即$a＜-2$时,解得$-1\leqslant x\leqslant\dfrac{2}{a}$;当$\dfrac{2}{a}=-1$,即$a=-2$时,解得$x=-1$满足题意;当$\dfrac{2}{a}＜-1$,即$-2＜a＜0$时,解得$\dfrac{2}{a}\leqslant x\leqslant-1$.综上所述,当$a=0$时,不等式的解集为$\{x|x\leqslant-1\}$;当$a＞0$时,不等式的解集为$\left\{x\left|x\geqslant\dfrac{2}{a}\right.\right.$或$\left.x\leqslant-1\right\}$;当$-2＜a＜0$时,不等式的解集为$\left\{x\left|\dfrac{2}{a}\leqslant x\leqslant-1\right.\right\}$;当$a=-2$时,不等式的解集为$\{-1\}$;当$a＜-2$时,不等式的解集为$\left\{x\left|-1\leqslant x\leqslant\dfrac{2}{a}\right.\right\}$.

2. 解关于 $x$ 的不等式 $x^{2}-(3a - 1)x+(2a^{2}-2)＞0$.

答案： 解:原不等式可化为$[x-(a+1)][x-2(a-1)]＞0$,讨论$a+1$与$2(a-1)$的大小.①当$a+1＞2(a-1)$,即$a＜3$时,不等式的解为$x＞a+1$或$x＜2(a-1)$.②当$a+1=2(a-1)$,即$a=3$时,不等式的解为$x\neq4$.③当$a+1＜2(a-1)$,即$a＞3$时,不等式的解为$x＞2(a-1)$或$x＜a+1$.综上,当$a＜3$时,不等式的解集为$\{x|x＞a+1$或$x＜2(a-1)\}$,当$a=3$时,不等式的解集为$\{x|x\neq4\}$,当$a＞3$时,不等式的解集为$\{x|x＞2(a-1)$或$x＜a+1\}$.