《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

2. 若函数$y= \log _{a}(x + b)+c(a＞0$,且$a\neq1)的图象恒过定点(3,2)$,则实数$b= $$-2$, $c= $$2$.

答案： 解析:
∵函数的图象恒过定点$(3,2)$,
∴将$(3,2)$代入$y = log_{a}(x + b) + c$,得$2 = log_{a}(3 + b) + c$.又当$a＞0$,且$a≠1$时,$log_{a}1 = 0$恒成立,
∴$c = 2,3 + b = 1$.
∴$b = -2,c = 2$.
答案:$-2$　$2$

3. 画出函数$y= |\log _{2}(x + 1)|$的图象,并写出函数的值域及单调区间.

答案：
解:函数$y = |log_{2}(x + 1)|$的图象如图所示.
由图象知,其值域为$[0,+∞)$,单调递减区间是$(−1,0]$,单调递增区间是$(0,+∞)$.

[例4] 比较下列各组数的大小.
(1) $\log _{\frac{1}{2}}\frac{4}{5}与\log _{\frac{1}{2}}\frac{6}{7}$;
(2) $\log _{\frac{1}{2}}3与\log _{\frac{1}{5}}3$;
(3) $\log _{a}2与\log _{a}3$.
听课记录:

答案：
解:
(1)$y = log_{\frac{1}{2}}x$在$(0,+∞)$上单调递减,因为$\frac{4}{5}＜\frac{6}{7}$,所以$log_{\frac{1}{2}}\frac{4}{5}＞log_{\frac{1}{2}}\frac{6}{7}$.
(2)法一:$log_{\frac{1}{2}}3 - log_{\frac{1}{5}}3 = \frac{lg3}{lg\frac{1}{2}} - \frac{lg3}{lg\frac{1}{5}} = \frac{lg3(lg\frac{1}{5} - lg\frac{1}{2})}{lg\frac{1}{2}lg\frac{1}{5}}$.
∵$y = lgx$是增函数,
∴$lg\frac{1}{5}＜lg\frac{1}{2}＜0＜lg3$.
∴$log_{\frac{1}{2}}3 - log_{\frac{1}{5}}3＜0$.
∴$log_{\frac{1}{2}}3＜log_{\frac{1}{5}}3$.
法二:因为在$x∈(1,+∞)$上,$y = log_{\frac{1}{5}}x$的图象在$y = log_{\frac{1}{2}}x$图象的上方,所以$log_{\frac{1}{2}}3＜log_{\frac{1}{5}}3$.

(3)当$a＞1$时,$y = log_{a}x$为增函数,所以$log_{a}2＜log_{a}3$;当$0＜a＜1$时,$y = log_{a}x$为减函数,所以$log_{a}2＞log_{a}3$.

4. 已知实数$a= \log _{4}5$,$b= (\frac{1}{2})^{0}$,$c= \log _{3}0.4$,则$a,b,c$的大小关系为 (D)
A.$b ＜ c ＜ a$
B.$b ＜ a ＜ c$
C.$c ＜ a ＜ b$
D.$c ＜ b ＜ a$

答案： 选D　由题知,$a = log_{2}5＞1,b = (\frac{1}{2})^{0} = 1,c = log_{0.2}0.4＜0$,故$c＜b＜a$.

5. 已知$\log _{\frac{1}{2}}m＜\log _{\frac{1}{2}}n＜0$,则 (D)
A.$n ＜ m ＜ 1$
B.$m ＜ n ＜ 1$
C.$1 ＜ m ＜ n$
D.$1 ＜ n ＜ m$

答案： 选D　因为$0＜\frac{1}{2}＜1,log_{\frac{1}{2}}m＜log_{\frac{1}{2}}n＜0$,所以$m＞n＞1$.故选D.