《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例 2] 对$\forall x \in \mathbf{R}$,不等式$mx^2 - mx - 1 ＜ 0$,求$m$的取值范围.
听课记录:
[变式拓展]
1. 在本例中,是否存在$m \in \mathbf{R}$,使得$\forall x \in \mathbf{R}$,不等式$mx^2 - mx - 1 ＞ 0$? 若存在,求$m$的取值范围;若不存在,请说明理由.
2. 在本例中,把条件“$\forall x \in \mathbf{R}$”改为“$x \in [2,3]$”,其余不变,求$m$的取值范围.

答案： 解：若$m = 0$，显然$-1 ＜ 0$恒成立；
若$m≠0$，则$\left\{\begin{array}{l} m ＜ 0\\ △ = m^{2} + 4m ＜ 0\end{array}\right.$，解得$-4 ＜ m ＜ 0$。
综上，m 的取值范围为$(-4,0]$。
[变式拓展]
1. 解：不存在。理由：显然当$m = 0$时不等式不成立；当$m≠0$时，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l} m ＞ 0\\ △ = m^{2} + 4m ＜ 0\end{array}\right.$，解得$m∈\varnothing$，所以不存在$m∈R$，使得$\forall x∈R$，不等式$mx^{2}-mx - 1 ＞ 0$。
2. 解：由不等式$mx^{2}-mx - 1 ＜ 0$得$m(x^{2}-x) ＜ 1$，
因为$x∈[2,3]$，所以$x^{2}-x ＞ 0$，
所以$m(x^{2}-x) ＜ 1$可化为$m ＜ \frac {1}{x^{2}-x}$，
因为$x^{2}-x=(x - \frac {1}{2})^{2}-\frac {1}{4}≤6$，
所以$\frac {1}{x^{2}-x}≥\frac {1}{6}$，所以$m ＜ \frac {1}{6}$。
即 m 的取值范围是$(-∞,\frac {1}{6})$。

2. 若关于$x的不等式(k - 1)x^2 + (k - 1)x - 1 ＜ 0$恒成立,则实数$k$的取值范围是$\{ k|-3 ＜ k≤1\}$.

答案： 解析：当$k = 1$时，$-1 ＜ 0$恒成立；当$k≠1$时，由题意得$\left\{\begin{array}{l} k - 1 ＜ 0\\ (k - 1)^{2} + 4(k - 1) ＜ 0\end{array}\right.$，解得$-3 ＜ k ＜ 1$，因此实数 k 的取值范围是$\{ k|-3 ＜ k≤1\}$。
答案：$\{ k|-3 ＜ k≤1\}$

3. 当$1 \leq x \leq 2$时,不等式$x^2 + mx + 4 ＜ 0$恒成立,求实数$m$的取值范围.

答案：
解：令$y = x^{2}+mx + 4$。$\because y ＜ 0$在$1≤x≤2$上恒成立，$\therefore y = 0$的根一个小于 1，另一个大于 2。
如图，可得$\left\{\begin{array}{l} m + 5 ＜ 0\\ 4 + 2m + 4 ＜ 0\end{array}\right.$，
解得$m ＜ - 5$。
∴实数 m 的取值范围是$\{ m|m ＜ - 5\}$。