《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例 2] 函数 $ f(x) = 2^x $ 和 $ g(x) = x^3 $ 的图象如图所示. 设两函数的图象交于点 $ A(x_1,y_1) $, $ B(x_2,y_2) $,且 $ x_1 ＜ x_2 $.

(1) 请指出图中曲线 $ C_1,C_2 $ 分别对应的函数;
(2) 结合函数图象,判断 $ f(6),g(6),f(2025),g(2025) $ 的大小.
听课记录:

答案：
(1)C₁对应的函数为g(x)=x³,C₂对应的函数为f(x)=2ˣ.
(2)因为f
(1)＞g
(1),f
(2)＜g
(2),f
(9)＜g
(9),f
(10)＞g
(10),所以1＜x₁＜2,9＜x₂＜10,所以x₁＜6＜x₂,2025＞x₂.从图象上可以看出,当x₁＜x＜x₂时,f(x)＜g(x),所以f
(6)＜g
(6).当x＞x₂时,f(x)＞g(x),所以f
(2025)＞g
(2025).又g
(2025)＞g
(6),所以f
(2025)＞g
(2025)＞g
(6)＞f
(6).

2. 函数 $ f(x) = \lg x $, $ g(x) = 0.3x - 1 $ 的图象如图所示.
(1) 指出图中 $ C_1,C_2 $ 分别对应哪一个函数;
(2) 比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对 $ f(x),g(x) $ 的大小进行比较).

答案：
(1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C₁对应的函数为g(x)=0.3x−1,曲线C₂对应的函数为f(x)=lgx.
(2)当x∈(0,x₁)时,g(x)＞f(x);当x∈(x₁,x₂)时,g(x)＜f(x);当x∈(x₂,+∞)时,g(x)＞f(x).g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢.