《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例2] (1)解不等式$\left( \dfrac { 1 } { 2 } \right) ^ { 3 x - 1 } \leqslant 2$；
(2)已知$a ^ { x ^ { 2 } - 3 x + 1 } ＜ a ^ { x + 6 } ( a ＞ 0, 且 a \neq 1 )$,求$x$的取值范围.
听课记录:

答案： 解:
(1)$\because 2=(\frac{1}{2})^{-1}$,$\therefore$ 原不等式可以转化为 $(\frac{1}{2})^{3x-1}\leqslant (\frac{1}{2})^{-1}$.$\because y=(\frac{1}{2})^x$ 在 R 上是减函数,$\therefore 3x-1\geqslant -1$.$\therefore x\geqslant 0$.故原不等式的解集是 $\{x|x\geqslant 0\}$.
(2)①当 $0＜a＜1$ 时,函数 $f(x)=a^x$ 在 R 上是减函数,$\therefore x^2-3x+1＞x+6$.$\therefore x^2-4x-5＞0$.解得 $x＜-1$ 或 $x＞5$;②当 $a＞1$ 时,函数 $f(x)=a^x$ 在 R 上是增函数,$\therefore x^2-3x+1＜x+6$.$\therefore x^2-4x-5＜0$.解得 $-1＜x＜5$.综上所述,当 $0＜a＜1$ 时,x 的取值范围是 $\{x|x＜-1$ 或 $x＞5\}$;当 $a＞1$ 时,x 的取值范围是 $\{x|-1＜x＜5\}$.

3. 求满足下列条件的$x$的取值范围:
(1)$3 ^ { x - 1 } ＞ 9 ^ { x }$；
(2)$0.2 ^ { x } ＜ 25$；
(3)$a ^ { - 5 x } ＞ a ^ { x + 7 } ( a ＞ 0, 且 a \neq 1 )$.

答案：
(1)$\because 3^{x-1}＞9^x$,$\therefore 3^{x-1}＞3^{2x}$.又 $y=3^x$ 在定义域 R 上是增函数,$\therefore x-1＞2x$.$\therefore x＜-1$.即 x 的取值范围是 $(-\infty,-1)$.
(2)$\because 0＜0.2＜1$,$\therefore$ 指数函数 $f(x)=0.2^x$ 在 R 上是减函数.又 $25=0.2^{-2}$,$\therefore 0.2^x＜25$,即 $0.2^x＜0.2^{-2}$.$\therefore x＞-2$.即 x 的取值范围是 $(-2,+\infty)$.
(3)当 $a＞1$ 时,$\because a^{-5x}＞a^{x+7}$,$\therefore -5x＞x+7$,解得 $x＜-\frac{7}{6}$;当 $0＜a＜1$ 时,$\because a^{-5x}＞a^{x+7}$,$\therefore -5x＜x+7$,解得 $x＞-\frac{7}{6}$.综上所述,当 $a＞1$ 时,x 的取值范围是 $(-\infty,-\frac{7}{6})$;当 $0＜a＜1$ 时,x 的取值范围为 $(-\frac{7}{6},+\infty)$.