《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例1] 比较下列各题中两个值的大小:
(1)$\left( \dfrac { 5 } { 7 } \right) ^ { - 1.8 }$,$\left( \dfrac { 5 } { 7 } \right) ^ { - 2.5 }$；(2)$1.7 ^ { 0.3 }$,$0.9 ^ { 3.1 }$；
(3)$\left( \dfrac { 1 } { 3 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } }$,$\left( \dfrac { 3 } { 2 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } }$；(4)$0.2 ^ { 0.3 }$,$0.3 ^ { 0.2 }$.
听课记录:

答案： 解:
(1)因为 $0＜\frac{5}{7}＜1$,所以函数 $y=(\frac{5}{7})^x$ 在其定义域 R 上单调递减.又 $-1.8＞-2.5$,所以 $(\frac{5}{7})^{-1.8}＜(\frac{5}{7})^{-2.5}$.
(2)因为 $1.7^{0.3}＞1.7^0=1$,$0.9^{3.1}＜0.9^0=1$,所以 $1.7^{0.3}＞0.9^{3.1}$.
(3)因为 $y=(\frac{1}{3})^x$ 在 R 上是减函数,$y=(\frac{3}{2})^x$ 在 R 上为增函数,且 $-\frac{1}{2}＜0$,所以 $(\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}}＞1$,$(\frac{3}{2})^{-\frac{1}{2}}＜1$,所以 $(\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}}＞(\frac{3}{2})^{-\frac{1}{2}}$.
(4)因为 $0＜0.2＜0.3＜1$,所以指数函数 $y=0.2^x$ 与 $y=0.3^x$ 在定义域 R 上均是减函数,且在区间 $(0,+\infty)$ 上函数 $y=0.2^x$ 的图象在函数 $y=0.3^x$ 的图象的下方,所以 $0.2^{0.2}＜0.3^{0.2}$.又根据指数函数 $y=0.2^x$ 在 R 上是减函数,可得 $0.2^{0.3}＜0.2^{0.2}$,所以 $0.2^{0.3}＜0.3^{0.2}$.

比较指数式大小的3种类型及处理方法
$\begin{cases}底数相同, \\指数不同\end{cases} \xrightarrow{利用指数函数的单调性来判断}$
$\begin{cases}底数不同, \\指数相同\end{cases} \xrightarrow{利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断}$
$\begin{cases}底数不同, \\指数不同\end{cases} \xrightarrow{通过中间量来比较}$

答案： 本题可根据题目所给的比较指数式大小的三种类型及处理方法，结合具体示例进行说明（由于题目未给出具体比较大小的式子，以下给出三种类型的示例及解答）：
类型一：底数相同，指数不同
例：比较$2^{3}$和$2^{2}$的大小。
因为指数函数$y = 2^{x}$，底数$2\gt1$，根据指数函数的单调性，当底数$a\gt1$时，函数$y = a^{x}$在$R$上单调递增。
由于$3\gt2$，所以$2^{3}\gt2^{2}$。
类型二：底数不同，指数相同
例：比较$2^{3}$和$3^{3}$的大小。
设函数$y_1 = 2^{x}$，$y_2 = 3^{x}$，指数都为$3\gt0$。
当$x\gt0$时，底数越大，指数函数增长越快，因为$3\gt2$，所以$3^{3}\gt2^{3}$。
类型三：底数不同，指数不同
例：比较$2^{0.3}$和$3^{0.2}$的大小。
因为$2^{0.3}\gt2^{0.2}$（指数函数$y = 2^{x}$，底数$2\gt1$，函数单调递增，$0.3\gt0.2$），且$2^{0.2}\lt3^{0.2}$（幂函数$y = x^{0.2}$，在$(0, +\infty )$上单调递增，$3\gt2$）。
又因为$2^{0.3}\gt2^{0.2}$，$3^{0.2}\gt2^{0.2}$，可借助中间量$2^{0.2}$，同时$2^{0.3}\gt 1$，$1 = 3^0\lt3^{0.2}$，再借助中间量$1$，且$2^{1.5}=\sqrt{2^3}=\sqrt{8}\lt\sqrt{9}=3$，$2^{0.3}\lt2^{1.5}$ ，为了更准确比较$2^{0.3}$和$3^{0.2}$，将指数化为相同，$2^{0.3}=(2^3)^{\frac{1}{10}} = 8^{\frac{1}{10}}$，$3^{0.2}=(3^5)^{\frac{1}{25}}=(243)^{\frac{1}{25}}$，$8^{5}=32768$，$243^{2}=59049$，$8^{5}\lt243^{2}$，所以$8^{\frac{1}{10}}\lt243^{\frac{1}{10}}$，又因为指数函数$y = a^x$（$a\gt1$）单调递增，$243^{\frac{1}{10}}\lt243^{\frac{1}{25}}×243^{\frac{3}{50}}$（这里粗略比较），更准确的是$2^{0.3}=2^{\frac{3}{10}}=(2^3)^{\frac{1}{10}} = 8^{\frac{1}{10}}$，$3^{0.2}=3^{\frac{1}{5}}=(3^2)^{\frac{1}{10}} = 9^{\frac{1}{10}}$，因为指数函数$y = x^{\frac{1}{10}}$在$(0, +\infty )$上单调递增，$9\gt8$，所以$3^{0.2}\gt2^{0.3}$。
综上，答案可根据具体题目按上述方法进行比较。若需一般性总结：
底数相同，指数不同：根据指数函数单调性比较。
底数不同，指数相同：根据指数函数图象变化规律比较。
底数不同，指数不同：通过中间量比较。

1. (2023·天津高考)若$a = 1.01 ^ { 0.5 }$,$b = 1.01 ^ { 0.6 }$,$c = 0.6 ^ { 0.5 }$,则$a$,$b$,$c$的大小关系为(D)
A.$c ＞ a ＞ b$
B.$c ＞ b ＞ a$
C.$a ＞ b ＞ c$
D.$b ＞ a ＞ c$

答案： D

2. 比较下列各题中数的大小:
(1)$2 ^ { \frac { 7 } { 9 } }与\left( \dfrac { 1 } { 4 } \right) ^ { - \frac { 4 } { 9 } }$；
(2)$0.8 ^ { 0.8 }$,$0.8 ^ { 0.9 }$,$1.2 ^ { 0.8 }$；
(3)$a ^ { - \frac { 3 } { 5 } }与a ^ { - \frac { 4 } { 7 } }$(其中$a ＞ 0且a \neq 1$).

答案：
(1)$\because (\frac{1}{4})^{-\frac{4}{9}}=2^{\frac{8}{9}}$,又指数函数 $y=2^x$ 在 R 上是增函数,且 $\frac{7}{9}＜\frac{8}{9}$,$\therefore 2^{\frac{7}{9}}＜(\frac{1}{4})^{-\frac{4}{9}}$.
(2)$\because 0.8^{0.8}＜1$,$0.8^{0.9}＜1$,$1.2^{0.8}＞1$,又 $y=0.8^x$ 在 R 上是减函数,$\therefore 0.8^{0.8}＞0.8^{0.9}$,$\therefore 1.2^{0.8}＞0.8^{0.8}＞0.8^{0.9}$.
(3)当 $a＞1$ 时,指数函数 $y=a^x$ 在 R 上是增函数,且 $-\frac{3}{5}＜-\frac{4}{7}$,$\therefore a^{-\frac{3}{5}}＜a^{-\frac{4}{7}}$;当 $0＜a＜1$ 时,指数函数 $y=a^x$ 在 R 上是减函数,且 $-\frac{3}{5}＜-\frac{4}{7}$,$\therefore a^{-\frac{3}{5}}＞a^{-\frac{4}{7}}$.故当 $a＞1$ 时,$a^{-\frac{3}{5}}＜a^{-\frac{4}{7}}$;当 $0＜a＜1$ 时,$a^{-\frac{3}{5}}＞a^{-\frac{4}{7}}$.