《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例4] 已知函数$f ( x ) = \left( \dfrac { 1 } { 2 ^ { x } - 1 } + \dfrac { 1 } { 2 } \right) \cdot x ^ { 3 }$.
(1)求$f ( x )$的定义域；
(2)讨论$f ( x )$的奇偶性；
(3)证明:$f ( x ) ＞ 0$.
听课记录:

答案： 解:
(1)由题意得 $2^x-1\neq 0$,即 $x\neq 0$,$\therefore f(x)$ 的定义域为 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$.
(2)由
(1)知,$f(x)$ 的定义域关于原点对称.令 $g(x)=\frac{1}{2^x-1}+\frac{1}{2}=\frac{2^x+1}{2(2^x-1)}$,$\varphi(x)=x^3$,则 $f(x)=g(x)\cdot\varphi(x)$.$\because g(-x)=\frac{2^{-x}+1}{2(2^{-x}-1)}=\frac{1+2^x}{2(1-2^x)}=-g(x)$,$\varphi(-x)=(-x)^3=-x^3=-\varphi(x)$,$\therefore f(-x)=g(-x)\cdot\varphi(-x)=[-g(x)]\cdot[-\varphi(x)]=g(x)\cdot\varphi(x)=f(x)$.$\therefore f(x)=(\frac{1}{2^x-1}+\frac{1}{2})\cdot x^3$ 为偶函数.
(3)证明:当 $x＞0$ 时,$2^x＞1$,$\therefore 2^x-1＞0$,$\therefore \frac{2^x}{2^x-1}+\frac{1}{2}＞0$,$\because x^3＞0$,$\therefore f(x)＞0$.由偶函数的图象关于 y 轴对称,知当 $x＜0$ 时,$f(x)＞0$ 也成立.故对于 $x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$,恒有 $f(x)＞0$.

6. 设$a ＞ 0$,函数$f ( x ) = \dfrac { 4 ^ { x } } { a } + \dfrac { a } { 4 ^ { x } }是定义域为\mathbf { R }$的偶函数.
(1)求实数$a$的值；
(2)求$f ( x )在[ 1,3 ]$上的值域.

答案：
(1)由 $f(x)=f(-x)$,得 $\frac{4^x}{a}+\frac{a}{4^x}=\frac{4^{-x}}{a}+\frac{a}{4^{-x}}$.即 $4^x(\frac{1}{a}-a)+\frac{1}{4^x}(a-\frac{1}{a})=0$,所以 $(4^x-\frac{1}{4^x})(\frac{1}{a}-a)=0$.根据题意,可得 $\frac{1}{a}-a=0$,又 $a＞0$,所以 $a=1$.
(2)由
(1)可知 $f(x)=4^x+\frac{1}{4^x}$,设任意的 $x_1,x_2\in(0,+\infty)$,且 $x_1＜x_2$,则 $f(x_1)-f(x_2)=4^{x_1}+\frac{1}{4^{x_1}}-4^{x_2}-\frac{1}{4^{x_2}}=(4^{x_1}-4^{x_2})(1-\frac{1}{4^{x_1+x_2}})$.因为 $0＜x_1＜x_2$,所以 $4^{x_1}＜4^{x_2}$.所以 $4^{x_1}-4^{x_2}＜0$.又 $x_1+x_2＞0$,所以 $4^{x_1+x_2}＞1$.所以 $1-\frac{1}{4^{x_1+x_2}}＞0$.所以 $f(x_1)-f(x_2)＜0$,即 $f(x_1)＜f(x_2)$.所以函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增.所以函数 $f(x)$ 在 $[1,3]$ 上的最大值为 $f(3)=4^3+\frac{1}{4^3}=\frac{4097}{64}$;最小值为 $f(1)=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$.故 $f(x)$ 在 $[1,3]$ 上的值域为 $[\frac{17}{4},\frac{4097}{64}]$.