《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例1] 已知函数 $ f(x)= \log _{a}(x - 1) $, $ g(x)= \log _{a}(6 - 2x)(a\gt0 $, 且 $ a\neq1) $.
(1)求函数 $ \varphi(x)= f(x)+g(x) $ 的定义域;
(2)试确定不等式 $ f(x)\leq g(x) $ 中 $ x $ 的取值范围.
听课记录:

答案： 解:
(1)由$\left\{\begin{array}{l} x-1＞0,\\ 6-2x＞0,\end{array}\right. $解得$1＜x＜3.$
∴函数$φ(x)$的定义域为$\{ x|1＜x＜3\} .$
(2)不等式$f(x)≤g(x)$,即为$log_{a}(x-1)≤log_{a}(6-2x),$①当$a＞1$时,不等式等价于$\left\{\begin{array}{l} 1＜x＜3,\\ x-1≤6-2x,\end{array}\right. $解得$1＜x≤\frac {7}{3};$②当$0＜a＜1$时,不等式等价于$\left\{\begin{array}{l} 1＜x＜3,\\ x-1≥6-2x,\end{array}\right. $解得$\frac {7}{3}≤x＜3.$综上可得,当$a＞1$时,不等式的解集为$(1,\frac {7}{3}]$;当$0＜a＜1$时,不等式的解集为$[\frac {7}{3},3).$

1. 已知 $ \log _{a}\frac{1}{2}\gt1 $,求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 解:$\because log_{a}\frac {1}{2}＞1=log_{a}a＞0,\therefore 0＜a＜1$.
∴函数$y=log_{a}x$是减函数.$\therefore \frac {1}{2}＜a＜1.$即实数a的取值范围是$(\frac {1}{2},1).$

2. 已知 $ \log _{0.7}(2x)\lt\log _{0.7}(x - 1) $,求实数 $ x $ 的取值范围.

答案： 解:
∵函数$y=log_{0.7}x$在$(0,+∞)$上为减函数,$\therefore log_{0.7}(2x)＜log_{0.7}(x-1)$可化为$\left\{\begin{array}{l} 2x＞0,\\ x-1＞0,\\ 2x＞x-1,\end{array}\right. $解得$x＞1.$
∴实数x的取值范围是$(1,+∞).$