《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例3] 判断$f ( x ) = \left( \dfrac { 1 } { 3 } \right) ^ { x ^ { 2 } - 2 x }$的单调性,并求其值域.
听课记录:
[变式拓展]
1. 把本例的函数改为“$f ( x ) = 3 ^ { - x ^ { 2 } - x }$”,求其单调区间.
2. 若本例变为函数$f ( x ) = \left( \dfrac { 1 } { 3 } \right) ^ { 2 x ^ { 2 } + m x - 3 }在区间( - 1,1 )$上单调递减,求实数$m$的取值范围.

答案： 解:令 $u=x^2-2x$,则原函数变为 $y=(\frac{1}{3})^u$.$\because u=x^2-2x=(x-1)^2-1$ 在 $(-\infty,1]$ 上单调递减,在 $[1,+\infty)$ 上单调递增,又 $y=(\frac{1}{3})^u$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递减,$\therefore y=(\frac{1}{3})^{x^2-2x}$ 在 $(-\infty,1]$ 上单调递增,在 $[1,+\infty)$ 上单调递减.$\because u=x^2-2x=(x-1)^2-1\geqslant -1$,$\therefore y=(\frac{1}{3})^u$,$u\in[-1,+\infty)$.$\therefore 0＜(\frac{1}{3})^u\leqslant (\frac{1}{3})^{-1}=3$.$\therefore$ 原函数的值域为 $(0,3]$.
[变式拓展]
1.解:设 $t=-x^2-x$,则原函数变为 $y=3^t$.当 $x\in(-\infty,-\frac{1}{2})$ 时,$t=-x^2-x$ 单调递增,$y=3^t$ 单调递增,因此 $f(x)=3^{-x^2-x}$ 在 $(-\infty,-\frac{1}{2})$ 上单调递增;当 $x\in(-\frac{1}{2},+\infty)$ 时,$t=-x^2-x$ 单调递减,$y=3^t$ 单调递增,因此 $f(x)=3^{-x^2-x}$ 在 $(-\frac{1}{2},+\infty)$ 上单调递减.因此函数 $f(x)=3^{-x^2-x}$ 的单调递增区间为 $(-\infty,-\frac{1}{2})$,单调递减区间为 $(-\frac{1}{2},+\infty)$.
2.解:由复合函数的同增异减性质可得,$y=2x^2+mx-3$ 在 $(-1,1)$ 上严格单调递增,即 $-\frac{m}{4}\leqslant -1$,解得 $m\geqslant 4$.所以 m 的取值范围是 $[4,+\infty)$.

4. (多选)对函数$f ( x ) = \left( \dfrac { 1 } { 2 } \right) ^ { x ^ { 2 } + 1 }$判断正确的是(BD)
A.增区间为$( 0, + \infty )$
B.增区间为$( - \infty, 0 )$
C.值域为$\left[ \dfrac { 1 } { 2 }, + \infty \right)$
D.值域为$\left( 0, \dfrac { 1 } { 2 } \right]$

答案： BD

5. (2023·新课标Ⅰ卷)设函数$f ( x ) = 2 ^ { x ( x - a ) }在区间( 0,1 )$单调递减,则$a$的取值范围是(D)
A.$( - \infty, - 2 ]$
B.$[ - 2,0 )$
C.$( 0,2 ]$
D.$[ 2, + \infty )$

答案： D