《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例5] 已知 $ x ＞ 1 $ 时,不等式 $ 2x + m + \frac{2}{x - 1} ＞ 0 $ 恒成立,则实数 $ m $ 的取值范围是 (D)
A.$ (-\infty, -8) $
B.$ (-8, +\infty) $
C.$ (-\infty, -6) $
D.$ (-6, +\infty) $
听课记录:
[例6] 已知 $ y = 4x + \frac{a}{x} $ ( $ x ＞ 0,a ＞ 0 $ )在 $ x = 3 $ 时取得最小值,则 $ a = $______.
听课记录:

答案： [例5] 选D 不等式2x+m+$\frac{2}{x-1}$＞0化为2(x-1)+$\frac{2}{x-1}$＞-m-2,
∵x＞1,
∴2(x-1)+$\frac{2}{x-1}$≥2×$\sqrt{2(x-1)·\frac{2}{x-1}}$=4,当且仅当x=2时,等号成立.
∵不等式2x+m+$\frac{2}{x-1}$＞0对一切x∈{x|x＞1}恒成立,
∴-m-2＜4,解得m＞-6.
[例6] 解析:
∵x＞0,a＞0,
∴y=4x+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{4x·\frac{a}{x}}$=4$\sqrt{a}$.当且仅当4x=$\frac{a}{x}$,即4x²=a时y取得最小值,又
∵x=3,
∴a=4×3²=36.
答案:36

4. 已知正实数 $ a,b $ 满足 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = m $,若 $ (a + \frac{1}{b})(b + \frac{1}{a}) $ 的最小值为4,则实数 $ m $ 的取值范围是 (B)
A.$ \{2\} $
B.$ \{m | m \geq 2\} $
C.$ \{m | 0 ＜ m \leq 2\} $
D.$ \{m | m ＞ 0\} $

答案： 4.选B 因为a,b为正实数,(a+$\frac{1}{b}$)(b+$\frac{1}{a}$)=ab+$\frac{1}{ab}$+2≥2$\sqrt{ab·\frac{1}{ab}}$+2=4,当且仅当ab=$\frac{1}{ab}$,即ab=1时等号成立,此时有b=$\frac{1}{a}$,又因为$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=m,所以a+$\frac{1}{a}$=m,由基本不等式可知a+$\frac{1}{a}$≥2(当且仅当a=1时等号成立),所以m≥2.

5. 已知 $ a ＞ 0,b ＞ 0 $,若 $ \frac{3}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{m}{a + 3b} $ 恒成立,则 $ m $ 的取值范围是(-∞,12].

答案： 5.解析:根据题意,a＞0,b＞0,$\frac{3}{a}$+$\frac{1}{b}$≥$\frac{m}{a+3b}$恒成立等价于($\frac{3}{a}$+$\frac{1}{b}$)(a+3b)≥m恒成立.所以($\frac{3}{a}$+$\frac{1}{b}$)(a+3b)=3+$\frac{9b}{a}$+$\frac{a}{b}$+3=6+$\frac{9b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥6+2$\sqrt{\frac{9b}{a}·\frac{a}{b}}$=12,当且仅当$\frac{9b}{a}$=$\frac{a}{b}$,即a=3b时等号成立,所以m≤12.
答案:(-∞,12]