《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例1] 求下列各式的值.
(1) $ \frac{\lg\sqrt{27} + \lg8 - 3\lg\sqrt{10}}{\lg1.2} $；
(2) $ (\lg5)^2 + \lg2 × \lg50 $；
(3) $ \frac{1 + \frac{1}{2}\lg9 - \lg240}{1 - \frac{2}{3}\lg27 + \lg\frac{36}{5}} $.
听课记录：

答案： 解:
(1)原式$=\frac{\lg(3^{3})^{\frac{1}{4}}+\lg 2^{3}-3\lg 10^{\frac{1}{4}}}{\lg\frac{3× 2^{2}}{10}}$
$=\frac{\frac{3}{2}(\lg 3+2\lg 2-1)}{\lg 3+2\lg 2-1}=\frac{3}{2}$.
(2)原式$=(\lg 5)^{2}+\lg 2(\lg 5+1)=(\lg 5)^{2}+\lg 2×\lg 5+\lg 2$
$=\lg 5(\lg 2+\lg 5)+\lg 2=\lg 5+\lg 2=1$.
(3)原式$=\frac{1+\frac{1}{2}\lg 3^{2}-\lg 24-\lg 10}{1-\frac{2}{3}\lg 3^{3}+\lg 36-\lg 5}$
$=\frac{\lg 3-\lg 3-\lg 8}{1-2\lg 3+2\lg 3+\lg 4-\lg 5}=\frac{-\lg 8}{1-\lg 5+\lg 4}=\frac{-\lg 8}{\lg 2+\lg 4}$
$=\frac{-\lg 8}{\lg 8}=-1$.

1. 计算：
(1) $ 2(\lg\sqrt{2})^2 + \lg\sqrt{2} × \lg5 + \sqrt{(\lg\sqrt{2})^2 - \lg2 + 1} $；
(2) $ \log_535 + 2\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{2} - \log_5\frac{1}{50} - \log_514 $.

答案： 1.解:
(1)原式$=\lg\sqrt{2}×(2\lg\sqrt{2}+\lg 5)+\sqrt{(\lg\sqrt{2}-1)^{2}}=\lg\sqrt{2}×(\lg 2+\lg 5)+(1-\lg\sqrt{2})=\lg\sqrt{2}+1-\lg\sqrt{2}=1$.
(2)原式$=\log_{5}\frac{35× 50}{14}+2\log_{2}2^{\frac{1}{2}}=\log_{5}5^{3}-1=3-1=2$.

[例2] 已知 $ \log_37 = a $,$ 2^b = 3 $,试用 $ a $,$ b $ 表示 $ \log_{14}56 $.
听课记录：
[变式拓展]
1. 本例条件不变,试用 $ a $,$ b $ 表示 $ \log_{28}98 $.
2. 若把本例中条件“$ 2^b = 3 $”换为 $ 3^b = 2 $,其他条件不变,则结论又如何呢？

答案： [例2]解:因为$2^{b}=3$,所以$b=\log_{2}3$,即$\log_{3}2=\frac{1}{b}$.
所以$\log_{14}56=\frac{\log_{3}56}{\log_{3}14}=\frac{\log_{3}(2^{3}× 7)}{\log_{3}(2× 7)}$
$=\frac{3\log_{3}2+\log_{3}7}{\log_{3}2+\log_{3}7}=\frac{\frac{3}{b}+a}{\frac{1}{b}+a}=\frac{3+ab}{1+ab}$.
[变式拓展]
1.解:$\log_{28}98=\frac{\log_{3}98}{\log_{3}28}=\frac{\log_{3}(7^{2}× 2)}{2\log_{3}2+\log_{3}7}=\frac{2\log_{3}7+\log_{3}2}{2\log_{3}2+\log_{3}7}=\frac{\frac{1}{b}+2a}{\frac{2}{b}+a}$
$=\frac{2ab+1}{2+ab}$.
2.解:因为$3^{b}=2$,所以$b=\log_{3}2$.又$a=\log_{3}7$,
所以$\log_{14}56=\frac{\log_{3}(2^{3}× 7)}{\log_{3}(2× 7)}=\frac{3\log_{3}2+\log_{3}7}{\log_{3}2+\log_{3}7}=\frac{3b+a}{a+b}$.