《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

1. 命题的概念及结构形式
可以判断真假,用文字或符号表述的陈述句叫作命题. 一个命题通常可以表示为“若$p$,则$q$”和“$p是q$”两种形式. 当命题表示为“若$p$,则$q$”时,$p$是命题的条件,$q$是命题的结论. 当命题“若$p$,则$q$”是真命题时,就说由p推出q,记作$p⇒q$.

答案： 真假 文字或符号 条件 结论 由p推出q p⇒q

2. 必要条件
一般地,当命题“若$p$,则$q$”是真命题时,称$q是p$的必要条件. 也就是说,一旦$q$不成立,$p$一定也不成立,即$q对于p$的成立是必要的.

答案： 真 必要

3. 性质定理与必要条件的关系
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.

答案： 必要

1. 下列命题是真命题的是(A)
A.若$xy = 1$,则$x$,$y$互为倒数
B.平面内,四条边相等的四边形是正方形
C.平行四边形是梯形
D.若$ac^3 ＞ bc^3$,则$a ＞ b$

答案： A

2. (多选)下列“若$p$,则$q$”形式的命题中,$p是q$的必要条件的有(BCD)
A.若$x$,$y$是偶数,则$x + y$是偶数
B.若$a ＜ 2$,则方程$x^2 - 2x + a = 0$有实根
C.若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形
D.若$ab = 0$,则$a = 0$

答案： BCD

3. 用必要条件的语言表述下面的性质:
(1)若$A = \varnothing$,则$A \subseteq B$;
(2)正方形的对角线互相垂直且相等;
(3)两条直线被第三条直线所截,如果两条直线平行,那么同位角相等.

答案： 解:
(1)A⊆B是A=∅的必要条件;
(2)四边形的对角线互相垂直且相等是该四边形为正方形的必要条件;
(3)两条直线被第三条直线所截,同位角相等是两条直线平行的必要条件.