《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例 3]
已知定义域为 $ \mathbf{R} $ 的函数 $ f(x) $ 在 $ [1, +\infty) $ 上单调递增,且 $ f(x + 1) $ 为偶函数,若 $ f(3) = 1 $,则不等式 $ f(2x + 1) ＜ 1 $ 的解集为(A)

A.$ (-1, 1) $
B.$ (-1, +\infty) $
C.$ (-\infty, 1) $
D.$ (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) $

答案： 选 A
∵f(x+1)是偶函数，
∴f(1-x)=f(1+x).故f(x)的图象关于直线x=1对称.
又f(x)在(-∞,+∞)上单调递增，
∴f(x)在[1,+∞)上单调递减.
∵f
(3)=1，
∴f(-1)=f
(3)=1.
∴f(2x+1)＜1⇨-1＜2x+1＜3.
解得-1＜x＜1.故选A.

5. 若函数 $ y = f(x) $ 在 $ (0, 2) $ 上单调递增,函数 $ y = f(x + 2) $ 是偶函数,则下列结论正确的是(B)
A.$ f(1) ＜ f\left(\dfrac{5}{2}\right) ＜ f\left(\dfrac{7}{2}\right) $
B.$ f\left(\dfrac{7}{2}\right) ＜ f(1) ＜ f\left(\dfrac{5}{2}\right) $
C.$ f\left(\dfrac{7}{2}\right) ＜ f\left(\dfrac{5}{2}\right) ＜ f(1) $
D.$ f\left(\dfrac{5}{2}\right) ＜ f(1) ＜ f\left(\dfrac{7}{2}\right) $

答案： 选 B
∵y=f(x+2)是偶函数，
∴f(2-x)=f(2+x).故y=f(x)的图象关于直线x=2对称.
∴f($\frac{5}{2}$)=f($\frac{3}{2}$)，f($\frac{7}{2}$)=f($\frac{1}{2}$).
又f(x)在(0,2)上单调递增，$\frac{1}{2}$＜1＜$\frac{3}{2}$，
∴f($\frac{1}{2}$)＜f
(1)＜f($\frac{3}{2}$)，即f($\frac{7}{2}$)＜f
(1)＜f($\frac{5}{2}$).

[例 4](多选)
对 $ \forall x \in \mathbf{R} $, $ [x] $ 表示不超过 $ x $ 的最大整数。十八世纪, $ y = [x] $ 被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”,则下列命题中的真命题是(ACD)
A.$ \forall x \in \mathbf{R} $, $ x ＜ [x] + 1 $
B.$ y = [x] $, $ x \in \mathbf{R} $ 是奇函数
C.函数 $ y = x - [x] (x \in \mathbf{R}) $ 的值域为 $ [0, 1) $
D.$ \forall x, y \in \mathbf{R} $, $ [x] + [y] \leq [x + y] $ 恒成立

答案： 选 ACD 设{x}是x的小数部分，则由取整函数的定义知x=[x]+{x}.当x为整数时，{x}=0，则[x]=x，当x不为整数时，0＜{x}＜1，则[x]＜x，且x＜[x]+1成立，即[x]≤x＜[x]+1.所以∀x∈R，x＜[x]+1成立，故A正确；当0＜x＜1时，y=[x]=0，当-1＜x＜0时，y=[x]=-1，故y=[x],x∈R不是奇函数，故B错误；由选项A中分析知x-1＜[x]≤x，所以0≤x-[x]＜1.所以函数y=x-[x](x∈R)的值域为[0,1)，故C正确；由取整函数的定义知∀x,y∈R，[x]≤x，[y]≤y，所以[x]+[y]≤[x]+[y]≤[x+y]，故D正确.

6.(多选)设函数 $ y = f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $,对于任意给定的正数 $ m $,定义函数 $ f_m(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \geq m \\ m, & f(x) ＜ m \end{cases} $,若函数 $ f(x) = -x^2 + 2x + 11 $,则下列结论正确的是(BCD)
A.$ f_3(3) = 3 $
B.$ f_3(x) $ 的值域为 $ [3, 12] $
C.$ f_3(x) $ 的单调递增区间为 $ [-2, 1] $
D.$ f_3(x + 1) $ 为偶函数

答案： 选 BCD 因为等式-x²+2x+11=3的解为x=4或x=-2，所以-x²+2x+11≥3的解集为-2≤x≤4，-x²+2x+11＜3的解集为x＜-2或x＞4.
所以f₃(x)=$\begin{cases} -x²+2x+11,-2≤x≤4, \\ 3,x＜-2或x＞4. \end{cases}$
对于A选项，f₃
(3)=-9+6+11=8，故错误；对于B选项，当-2≤x≤4时，f₃(x)=-x²+2x+11=-(x-1)²+12∈[3,12]，当x∈(-∞,-2)∪(4,+∞)时，f₃(x)=3，所以f₃(x)的值域为[3,12]，故正确；对于C选项，当-2≤x≤4时，f₃(x)=-x²+2x+11=-(x-1)²+12在区间[-2,1]上单调递增，当x＜-2或x＞4时，函数为常数函数，所以f₃(x)的单调递增区间为[-2,1]，故正确；对于D选项，函数f₃(x)图象关于x=1对称，其图象向左平移一个单位得到f₃(x+1)的图象，此时f₃(x+1)的图象关于x=0对称，即关于y轴对称.故f₃(x+1)为偶函数，故正确.故选BCD.