《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例 3] 已知关于 $x$ 的不等式 $ax^{2}+bx+c＞0$ 的解集为 $\{x|2＜x＜3\}$,求关于 $x$ 的不等式 $cx^{2}+bx+a＜0$ 的解集.
听课记录:
[变式拓展]
若本例中条件不变,求关于 $x$ 的不等式 $cx^{2}-bx+a＞0$ 的解集.

答案： 解:由不等式$ax^{2}+bx+c＞0$的解集为$\{x|2＜x＜3\}$可知$a＜0$,且2和3是方程$ax^{2}+bx+c=0$的两根,由根与系数的关系可知$\dfrac{b}{a}=-5$,$\dfrac{c}{a}=6$.由$a＜0$知$c＜0$,$\dfrac{b}{c}=-\dfrac{5}{6}$,故不等式$cx^{2}+bx+a＜0$,即$x^{2}+\dfrac{b}{c}x+\dfrac{a}{c}＞0$,即$x^{2}-\dfrac{5}{6}x+\dfrac{1}{6}＞0$,解得$x＜\dfrac{1}{3}$或$x＞\dfrac{1}{2}$,所以不等式$cx^{2}+bx+a＜0$的解集为$\left\{x\left|x＜\dfrac{1}{3}\right.\right.$或$\left.x＞\dfrac{1}{2}\right\}$.
[变式拓展]
解:由根与系数的关系知$\dfrac{b}{a}=-5$,$\dfrac{c}{a}=6$且$a＜0$.$\therefore c＜0$,$\dfrac{b}{c}=-\dfrac{5}{6}$,故不等式$cx^{2}-bx+a＞0$,即$x^{2}-\dfrac{b}{c}x+\dfrac{a}{c}＜0$,即$x^{2}+\dfrac{5}{6}x+\dfrac{1}{6}＜0$,解得$-\dfrac{1}{2}＜x＜-\dfrac{1}{3}$,故不等式$cx^{2}-bx+a＞0$的解集为$\left\{x\left|-\dfrac{1}{2}＜x＜-\dfrac{1}{3}\right.\right\}$.

3. (多选)已知关于 $x$ 的不等式 $ax^{2}+bx+c\geq0$ 的解集为 $\{x|x\leq - 3$ 或 $x\geq4\}$,则下列说法正确的是 (AC)
A.$a＞0$
B.不等式 $bx+c＞0$ 的解集为 $\{x|x＞-12\}$
C.不等式 $cx^{2}-bx+a＜0$ 的解集为 $\{x|x＜-\frac{1}{4}$ 或 $x＞\frac{1}{3}\}$
D.$a + b + c＞0$

答案： 选AC 因为不等式$ax^{2}+bx+c\geq0$的解集为$\{x|x\leq - 3$或$x\geq4\}$,所以$a＞0$,A正确;方程$ax^{2}+bx+c=0$的两根是$x_{1}=-3$,$x_{2}=4$,由根与系数的关系得$\left\{\begin{array}{l} -3+4=-\dfrac{b}{a},\\ -3×4=\dfrac{c}{a},\end{array}\right.$即$b=-a$,$c=-12a$,$bx+c＞0$等价于$-ax-12a＞0$,所以$x＜-12$,B错误;不等式$cx^{2}-bx+a＜0$等价于$-12ax^{2}+ax+a＜0$,即$12x^{2}-x-1＞0$,解得$x＜-\dfrac{1}{4}$或$x＞\dfrac{1}{3}$,C正确;因为$b=-a$,$c=-12a$,所以$a+b+c=-12a＜0$,D错误.

4. 若关于 $x$ 的不等式 $(x + 1)(x - 3)＜m$ 的解集为 $\{x|0＜x＜n\}$,则实数 $n$ 的值为2.

答案： 解析:$\because$关于x的不等式$(x+1)(x-3)＜m$的解集为$\{x|0＜x＜n\}$,$\therefore x=0$是方程$(x+1)(x-3)=m$的解,$\therefore m=-3$.$\therefore$原不等式为$(x+1)(x-3)＜-3$,即$x^{2}-2x＜0$,解得$0＜x＜2$.故不等式的解集为$\{x|0＜x＜2\}$,$\therefore n=2$.
答案:2