《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例 2] 对于实数$a$，$b$，$c$，下列命题中的真命题是 (D)
A.若$a ＞ b$，则$ac^2 ＞ bc^2$
B.若$a ＞ b ＞ 0$，则$\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$
C.若$a ＜ b ＜ 0$，则$\frac{b}{a} ＞ \frac{a}{b}$
D.若$a ＞ b$，$\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$，则$a ＞ 0$，$b ＜ 0$

答案： 选D 法一:$\because c^{2}≥0$,
∴$c=0$时,有$ac^{2}=bc^{2}$,故A为假命题;由$a＞b＞0$,有$ab＞0\Rightarrow \frac {a}{ab}＞\frac {b}{ab}\Rightarrow \frac {1}{b}＞\frac {1}{a}$,故B为假命题;$\left.\begin{array}{r} a＜b＜0\Rightarrow -a＞-b＞0\Rightarrow -\frac {1}{b}＞-\frac {1}{a}＞0\\ a＜b＜0\Rightarrow -a＞-b＞0\end{array}\right\} \Rightarrow \frac {a}{b}＞\frac {b}{a}$,故C为假命题;$\left.\begin{array}{r} a＞b\Rightarrow b-a＜0,\\ \frac {1}{a}＞\frac {1}{b}\Rightarrow \frac {1}{a}-\frac {1}{b}＞0\Rightarrow \frac {b-a}{ab}＞0\end{array}\right\} \Rightarrow ab＜0.$$\because a＞b$,
∴$a＞0$且$b＜0$,故D为真命题.
法二:特殊值排除法.取$c=0$,则$ac^{2}=bc^{2}$,故A为假命题;取$a=2,b=1$,则$\frac {1}{a}=\frac {1}{2},\frac {1}{b}=1$.有$\frac {1}{a}＜\frac {1}{b}$,故B为假命题;取$a=-2,b=-1$,则$\frac {b}{a}=\frac {1}{2},\frac {a}{b}=2$,有$\frac {b}{a}＜\frac {a}{b}$,故C为假命题.

2. (多选)下列四个结论正确的是 (AC)
A.$a ＞ b$,$c ＜ d \Rightarrow a - c ＞ b - d$
B.$a ＞ b ＞ 0$,$c ＜ d ＜ 0 \Rightarrow ac ＞ bd$
C.$a ＞ b ＞ 0 \Rightarrow a^3 ＞ b^3$
D.$a ＞ b ＞ 0 \Rightarrow \frac{1}{a^2} ＞ \frac{1}{b^2}$

答案： 选AC 利用不等式的同向可加性可知A正确;根据不等式的性质可知$ac＜bd$,故B不正确;根据不等式性质5可知C正确;由$a＞b＞0$可知$a^{2}＞b^{2}＞0$,所以$\frac {1}{a^{2}}＜\frac {1}{b^{2}}$,所以D不正确.

3. 设$a$,$b \in \mathbf{R}$,则“$ab ＜ 1$”是“$0 ＜ a ＜ \frac{1}{b}$”的(B)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 选B 当$a=0,b=-1$时,满足$ab＜1$,但不满足$0＜a＜\frac {1}{b}$;当$0＜a＜\frac {1}{b}$时,$b＞0$,则$ab＜1$.所以“$ab＜1$”是“$0＜a＜\frac {1}{b}$”的必要不充分条件.

[例 3] 已知$c ＞ a ＞ b ＞ 0$,求证：$\frac{a}{c - a} ＞ \frac{b}{c - b}$.

答案： 证明:法一:因为$c＞a＞b＞0$,所以$0＜c-a＜c-b$,所以$(c-a)(c-b)＞0$,所以$0＜\frac {1}{(c-a)(c-b)}\cdot (c-a)＜\frac {1}{(c-a)(c-b)}\cdot (c-b)$,即$0＜\frac {1}{c-b}＜\frac {1}{c-a}.$又因为$a＞b＞0$,所以$\frac {a}{c-a}＞\frac {b}{c-b}.$
法二:因为$a＞b＞0$,所以$\frac {1}{a}＜\frac {1}{b}.$因为$c＞0$,所以$\frac {c}{a}＜\frac {c}{b},$所以$\frac {c}{a}-1＜\frac {c}{b}-1$,即$\frac {c-a}{a}＜\frac {c-b}{b}.$因为$c＞a＞b＞0$,所以$c-a＞0,c-b＞0.$所以$\frac {a}{c-a}＞\frac {b}{c-b}.$
法三:$\frac {a}{c-a}-\frac {b}{c-b}=\frac {a(c-b)-b(c-a)}{(c-a)(c-b)}=\frac {ac-ab-bc+ab}{(c-a)(c-b)}=\frac {c(a-b)}{(c-a)(c-b)}$,因为$c＞a＞b＞0$,所以$a-b＞0,c-a＞0,c-b＞0$,所以$\frac {a}{c-a}＞\frac {b}{c-b}.$