《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例 1] (2024·全国甲卷)已知集合 $ A = \{ 1,2,3,4,5,9 \} $,$ B = \{ x | \sqrt{x} \in A \} $,则 $ \complement _ { A } ( A \cap B ) = $ (D)
A.$ \{ 1,4,9 \} $
B.$ \{ 3,4,9 \} $
C.$ \{ 1,2,3 \} $
D.$ \{ 2,3,5 \} $
听课记录：

答案： 选D 由题意得B={1,4,9,16,25,81},则A∩B={1,4,9},所以∁ₐ(A∩B)={2,3,5},故选D.

[例 2] 已知全集 $ U = \{ x \in \mathbf { Z } | - 5 ＜ x \leq 4 \} $,$ A \subseteq U $,$ B \subseteq U $,且 $ ( \complement _ { U } A ) \cap B = \{ - 2,3 \} $,$ ( \complement _ { U } B ) \cap A = \{ - 4,4 \} $,$ A \cap B = \varnothing $,求集合 $ ( \complement _ { U } A ) \cap ( \complement _ { U } B ) $。
听课记录：

答案： 解:全集U={x∈Z|-5＜x≤4}={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},A∩B=⌀,则(∁ᵤA)∩B=B={-2,3},(∁ᵤB)∩A=A={-4,4},所以(∁ᵤA)∩(∁ᵤB)={-3,-1,0,1,2}.

1. (2023·天津高考)已知集合 $ U = \{ 1,2,3,4,5 \} $,$ A = \{ 1,3 \} $,$ B = \{ 1,2,4 \} $,则 $ ( \complement _ { U } B ) \cup A = $ (A)
A.$ \{ 1,3,5 \} $
B.$ \{ 1,3 \} $
C.$ \{ 1,2,4 \} $
D.$ \{ 1,2,4,5 \} $

答案： 选A 法一:因为U={1,2,3,4,5},B={1,2,4},所以∁ᵤB={3,5},又A={1,3},所以(∁ᵤB)∪A={1,3,5}.故选A.
法二:因为A={1,3},且A⊆(∁ᵤB)∪A,所以集合(∁ᵤB)∪A中必含有元素1,3,所以排除选项C、D;观察选项A、B,因为5∉B,所以5∈∁ᵤB,即5∈(∁ᵤB)∪A,故选A.

2. 设全集 $ U = \{ x \in \mathbf { N } _ { + } | x \leq 9 \} $,若 $ \complement _ { U } ( A \cup B ) = \{ 1,3 \} $,$ A \cap ( \complement _ { U } B ) = \{ 2,4 \} $,则集合 $ B = $ ({5,6,7,8,9})
A.$ \{ 4,5,6,7,8,9 \} $
B.$ \{ 2,4,5,6,7,8,9 \} $
C.$ \{ 5,6,7,8 \} $
D.$ \{ 5,6,7,8,9 \} $

答案： 选D 因为全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},由∁ᵤ(A∪B)={1,3},得A∪B={2,4,5,6,7,8,9}.又A∩(∁ᵤB)={2,4},所以B={5,6,7,8,9}.

[例 3] 集合 $ A = \{ x | - 2 \leq x \leq 5 \} $,集合 $ B = \{ x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1 \} $,若 $ B \subseteq A $,求实数 $ m $ 的取值范围。
听课记录：
[变式拓展]
1. 若本例条件“$ B \subseteq A $”变为“$ A \cap B \neq \varnothing $”,求实数 $ m $ 的取值范围。
2. 若本例条件变为“已知集合 $ A = [ 2 a + 1,3 a - 5 ] $,$ B = [ 3,22 ] $”。求能使 $ A \cap B = A $ 成立的实数 $ a $ 的取值范围。
3. 若本例条件“集合 $ A = \{ x | - 2 \leq x \leq 5 \} $”变为“$ A = \{ x | x \leq 3 $ 或 $ x ＞ 5 \} $”,其他条件不变,求实数 $ m $ 的取值范围。

答案： 解:①当B=⌀时,B⊆A,此时m+1＞2m-1,解得m＜2;②当B≠⌀时,为使B⊆A,m需满足{m+1≤2m-1,m+1≥-2,2m-1≤5},解得2≤m≤3.综上所述,实数m的取值范围为{m|m≤3}.
[变式拓展]
1. 解:先求A∩B=⌀时,实数m的取值范围,再求其补集.当B=⌀时,易知m＜2;当B≠⌀时,为使A∩B=⌀,m需满足{m+1≤2m-1,m+1＞5}或{m+1≤2m-1,2m-1＜-2},解得m＞4.综上知,当m＜2或m＞4时,A∩B=⌀,所以若A∩B≠⌀,则实数m的取值范围是{m|2≤m≤4}.
2. 解:由A∩B=A,可知A⊆B,则{2a-1≥3,3a+5≤22},解得6＜a≤9,故实数a的取值范围为{a|6＜a≤9}.
3. 解:若2m-1＜m+1,即m＜2时,B=⌀,满足B⊆A.若2m-1≥m+1,即m≥2时,要使B⊆A,只需{2m-1≤3,m≥2}或{m+1＞5,m≥2},解得m=2或m＞4.综上所述,实数m的取值范围为{m|m≤2或m＞4}.