《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例4] 已知函数$f(x)= \begin{cases}x + 1,x\leqslant - 2,\\3x + 5,-2＜x＜2,\\2x - 1,x\geqslant2.\end{cases} $
(1)求$f(-5),f(1),f(f(-\frac{5}{2}))$;
(2)若$f(a^2+2)\geqslant a + 4$,求实数$a$的取值范围.

答案： 解:
(1)由$-5∈(-∞,-2],1∈(-2,2),-\frac {5}{2}∈(-∞,-2]$,知$f(-5)=-5+1=-4,f(1)=3×1+5=8,f(f(-\frac {5}{2}))=f(-\frac {5}{2}+1)=f(-\frac {3}{2})=3×(-\frac {3}{2})+5=\frac {1}{2}.$
(2)因为$a^{2}+2≥2$,所以$f(a^{2}+2)=2(a^{2}+2)-1=2a^{2}+3$,所以不等式$f(a^{2}+2)≥a+4$化为$2a^{2}-a-1≥0$,解得$a≥1$或$a≤-\frac {1}{2}$,即实数a的取值范围是$(-∞,-\frac {1}{2}]\cup [1,+∞).$

5.已知函数$f(x)= \begin{cases}x + 1,x\leqslant0,\\2x,x＞0,\end{cases} 若f(a)+f(1)= 0$,则实数$a$的值等于(-3)
A.$-3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3$

答案： 选A 由题易知$f(1)=2×1=2$,据此结合题意分类讨论:当$a＞0$时,$f(a)=2a$,由$f(a)+f(1)=0$,得$2a+2=0$,解得$a=-1$,舍去;当$a≤0$时,$f(a)=a+1$,由$f(a)+f(1)=0$,得$a+1+2=0$,解得$a=-3$,满足题意.

6.函数$f(x)= \begin{cases}f(f(x + 5)),x＜10,\\x - 3,x\geqslant10,\end{cases} 则f(7)= $8.

答案： 8