《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例 1] 判断下列函数的奇偶性:
(1) $ f(x) = |x + 1| - |x - 1| $;
(2) $ f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{1 - x^2} $;
(3) $ f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} $;
(4) $ f(x) = \begin{cases} -x + 1,x ＜ 0, \\ x + 1,x ＞ 0. \end{cases} $
听课记录:

答案：
(1) 定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称。$f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x)$，故$f(x)$为奇函数。
(2) 由$\begin{cases}x^2-1\geq0\\1-x^2\geq0\end{cases}$得$x^2=1$，定义域为$\{-1,1\}$，关于原点对称。$f(-x)=\sqrt{(-x)^2-1}+\sqrt{1-(-x)^2}=\sqrt{x^2-1}+\sqrt{1-x^2}=f(x)$，且$f(x)=0$，故$f(x)$既是奇函数又是偶函数。
(3) 由$\begin{cases}1-x^2\geq0\\x\neq0\end{cases}$得定义域$[-1,0)\cup(0,1]$，关于原点对称。$f(-x)=\frac{\sqrt{1-(-x)^2}}{-x}=-\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}=-f(x)$，故$f(x)$为奇函数。
(4) 定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，关于原点对称。当$x＞0$时，$-x＜0$，$f(-x)=-(-x)+1=x+1=f(x)$；当$x＜0$时，$-x＞0$，$f(-x)=(-x)+1=-x+1=f(x)$，故$f(x)$为偶函数。

1. 判断下列函数的奇偶性:
(1) $ f(x) = x^3 + x^5 $;
(2) $ f(x) = |x + 1| + |x - 1| $;
(3) $ f(x) = \frac{2x^2 + 2x}{x + 1} $.
(1)函数f(x)的定义域为R.
∵f(-x)=(-x)³+(-x)⁵=-(x³+x⁵)=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)函数f(x)的定义域是R.
∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(3)
∵函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)是非奇非偶函数.

答案：
(1)函数f(x)的定义域为R.
∵f(-x)=(-x)³+(-x)⁵=-(x³+x⁵)=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)函数f(x)的定义域是R.
∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(3)
∵函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)是非奇非偶函数.