《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

3. 若函数 $ f(x) $ 的定义域为 $[0,4]$,则函数 $ g(x)= f(x + 2) $ 的定义域为(A)
A.$[-2,2]$
B.$[0,2]$
C.$[2,6]$
D.$[2,4]$

答案： A

4. 若函数 $ f(3 - 2x) $ 的定义域为 $[-1,2]$,则函数 $ f(x) $ 的定义域为(C)
A.$\left[-\frac{5}{2}, -1\right]$
B.$[-1,2]$
C.$[-1,5]$
D.$\left[\frac{1}{2}, 2\right]$

答案： C

[例3]
求下列函数的值域：
(1) $ y = x + 1 $；
(2) $ y = x^{2} - 2x + 3 $,$ x\in[0,3) $；
(3) $ y= \frac{3x - 1}{x + 1} $.

解:
(1)观察法　$\because x\in\mathbf{R}$,
$\therefore x + 1\in\mathbf{R}$,即函数值域是$\mathbf{R}$.
(2)配方法　$y=x^{2}-2x + 3=(x - 1)^{2}+2$,由$x\in[0,3)$,再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为$[2,6)$.
(3)分离常数法　$y=\frac{3x - 1}{x + 1}=\frac{3x + 3 - 4}{x + 1}=3-\frac{4}{x + 1}$.
$\because \frac{4}{x + 1}\neq 0$,$\therefore y\neq 3$.
$\therefore y=\frac{3x - 1}{x + 1}$的值域为$(-\infty,3)\cup(3,+\infty)$.

答案： 解:
(1)观察法　$\because x\in\mathbf{R}$,
$\therefore x + 1\in\mathbf{R}$,即函数值域是$\mathbf{R}$.
(2)配方法　$y=x^{2}-2x + 3=(x - 1)^{2}+2$,由$x\in[0,3)$,再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为$[2,6)$.
(3)分离常数法　$y=\frac{3x - 1}{x + 1}=\frac{3x + 3 - 4}{x + 1}=3-\frac{4}{x + 1}$.
$\because \frac{4}{x + 1}\neq 0$,$\therefore y\neq 3$.
$\therefore y=\frac{3x - 1}{x + 1}$的值域为$(-\infty,3)\cup(3,+\infty)$.

5. 求下列函数的值域：
(1) $ y = \sqrt{x} - 1(x\geq 4) $；
(2) $ y = 2x + 1 $,$ x\in\{1,2,3,4,5\} $；
(3) $ y = x^{2} - 2x - 3(x\in[-1,2]) $.

答案： 解:
(1)因为$x\geqslant 4$,所以$\sqrt{x}\geqslant 2$.所以$\sqrt{x}-1\geqslant 1$.
所以$y\in[1,+\infty)$.
(2)因为$x\in\{1,2,3,4,5\}$,$y = 2x + 1$,所以$y=\{3,5,7,9,11\}$.
(3)因为$y=x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$,$x\in[-1,2]$,
所以当$x = 1$时,$y_{\min}=-4$,当$x = -1$时,$y_{\max}=0$.
所以函数值域为$[-4,0]$.