《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

1. 充分条件
一般地,“若$p$,则$q$”为真命题时,称$p是q$的充分条件.

答案： 充分

2. 判定定理与充分条件的关系
数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.

答案： 充分

3. 必要条件与充分条件
对于真命题“若$p$,则$q$”,即$p \Rightarrow q$时,称$q是p$的必要条件,也称$p是q$的充分条件.

答案： 必要 充分

1. 下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(D)
A.四边形的对角线相等
B.四边形的两组对边分别相等
C.四边形有两个内角都为直角
D.四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补

答案： D

2. (多选)下列“若$p$,则$q$”形式的命题中,$p是q$的充分条件的是(ABC)
A.若$x ＜ 1$,则$x ＜ 2$
B.若两个三角形的三边对应成比例,则这两个三角形相似
C.若$|x| \neq 1$,则$x \neq 1$
D.若$ab ＞ 0$,则$a ＞ 0$,$b ＞ 0$

答案： ABC

3. 下列“若$p$,则$q$”形式的命题中,哪些命题中的$p是q$的充分条件?
(1)若$a$,$b$为无理数,则$ab$为无理数;
(2)在$\triangle ABC$中,若$A ＞ B$,则$BC ＞ AC$;
(3)已知$a$,$b \in \mathbf{R}$,若$a^2 + b^2 = 0$,则$a = b = 0$.

答案： 解:
(1)$\sqrt{2}$,$2\sqrt{2}$为无理数,但$\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$,为有理数,因此p不能推出q,所以p不是q的充分条件.
(2)由三角形中角的对边关系可知,若A＞B,则BC＞AC,因此由q,所以p是q的充分条件.
(3)因为a,b∈R,所以$a^2≥0$,$b^2≥0$,由$a^2+b^2=0$,可推出a=b=0,即p⇒q,所以p是q的充分条件.

1. 一般地,如果p⇒q,且q⇒p,那么称$p是q$的充分且必要条件,简称$p是q$的充要条件,记作p⇔q. $p是q$的充要条件也常常说成“$p成立当且仅当q$成立”,或“$p与q$等价”.

答案： p⇒q q⇒p 充要 p⇔q

1. (2023·北京高考)若$xy \neq 0$,则“$x + y = 0$”是“y/x+x/y=-2”的(C)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： C

2. (2023·天津高考)“$a^2 = b^2$”是“$a^2 + b^2 = 2ab$”的(B)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： B