《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例1] 若 $ x ＜ \frac{2}{3} $,则 $ 3x + 1 + \frac{9}{3x - 2} $ 有 (C)
A.最大值0
B.最小值9
C.最大值-3
D.最小值-3
听课记录:
[例2] 已知 $ 0 ＜ x ＜ \frac{\sqrt{2}}{2} $,则 $ x\sqrt{1 - 2x^2} $ 的最大值为______.
听课记录:

答案： [例1] 选C 因为x＜$\frac{2}{3}$,所以3x-2＜0,所以3x-2+$\frac{9}{3x-2}$+3=-[(2-3x)+$\frac{9}{2-3x}$]+3≤-2$\sqrt{(2-3x)·\frac{9}{2-3x}}$+3=-3,当且仅当2-3x=$\frac{9}{2-3x}$,即x=-$\frac{1}{3}$时,取等号.
[例2] 解析:因为0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$,所以1-2x²＞0,所以x$\sqrt{1-2x²}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$·$\sqrt{2x²}$$\sqrt{1-2x²}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$·$\frac{2x²+1-2x²}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$,当且仅当2x²=1-2x²,即x=$\frac{1}{2}$时等号成立.
答案:$\frac{\sqrt{2}}{4}$

[例3] 已知 $ x ＞ 0,y ＞ 0 $,且 $ 2x + y = 1 $,则 $ \frac{x + y}{xy} $ 的最小值为 (D)
A. 4
B. $ 4\sqrt{2} $
C. 6
D. $ 2\sqrt{2} + 3 $

答案： [例3] 选D 因为x＞0,y＞0,且2x+y=1,所以$\frac{x+y}{xy}$=$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{x}$=($\frac{1}{y}$+$\frac{1}{x}$)(2x+y)=$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$+3≥2$\sqrt{\frac{2x}{y}·\frac{y}{x}}$+3=2$\sqrt{2}$+3,当且仅当$\frac{2x}{y}$=$\frac{y}{x}$,即x=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$,y=$\sqrt{2}$-1时取等号.