《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例2] (多选)关于函数 $ f(x)= \log _{0.4}(-x^{2}+3x + 4) $,下列说法正确的是 (ACD)
A.$ f(x) $ 的定义域为 $ (-1,4) $
B.$ f(x) $ 的最大值为 $ 2 $
C.$ f(x) $ 的最小值为 $ -2 $
D.$ f(x) $ 的单调递增区间为 $ (\frac{3}{2},4) $
听课记录:

答案： 选ACD 令$-x^{2}+3x+4＞0$,得$-1＜x＜4$,即函数$f(x)=log_{0.4}(-x^{2}+3x+4)$的定义域为$(-1,4)$,故A正确;$\because -x^{2}+3x+4=-(x-\frac {3}{2})^{2}+\frac {25}{4},\therefore -x^{2}+3x+4∈(0,\frac {25}{4}],$$\therefore f(x)=log_{0.4}(-x^{2}+3x+4)∈[-2,+∞)$,故B错误,C正确;令$t=-x^{2}+3x+4$,则其在$(-1,\frac {3}{2})$内单调递增,在$(\frac {3}{2},4)$内单调递减,又$y=log_{0.4}t$在$(0,+∞)$上单调递减,由复合函数的单调性得$f(x)=log_{0.4}(-x^{2}+3x+4)$的单调递增区间为$(\frac {3}{2},4)$,故D正确.

3. 函数 $ f(x)= \log _{a}(ax - 3) $ 在 $ [1,3] $ 上单调递增,则 $ a $ 的取值范围是 (D)
A.$ (1,+\infty) $
B.$ (0,1) $
C.$ (0,\frac{1}{3}) $
D.$ (3,+\infty) $

答案： 选D
∵a＞0,且$a≠1,\therefore u=ax-3$为增函数.
∴若函数$f(x)$为增函数,则$f(x)=log_{a}u$必为增函数.$\therefore a＞1$.又$u=ax-3$在$[1,3]$上恒为正,$\therefore a-3＞0$,即$a＞3.$

[例3] 已知函数 $ f(x)= \log _{2}(x + 1)-2 $.
(1)若 $ f(x)\gt0 $,求 $ x $ 的取值范围;
(2)若 $ x\in(-1,3] $,求 $ f(x) $ 的值域.
听课记录:

答案： 解:
(1)$\because x+1＞0,\therefore x＞-1.$函数$f(x)$的定义域为$(-1,+∞).$$\because f(x)＞0$,即$log_{2}(x+1)-2＞0,\therefore log_{2}(x+1)＞2.\therefore x+1＞4.$$\therefore x＞3$.
∴x的取值范围是$(3,+∞).$
(2)$\because x∈(-1,3],\therefore x+1∈(0,4].\therefore log_{2}(x+1)∈(-∞,2].$$\therefore log_{2}(x+1)-2∈(-∞,0].$$\therefore f(x)$的值域为$(-∞,0].$

4. 已知函数 $ f(x)= \log _{\frac{1}{2}}(4 - x)-\log _{\frac{1}{2}}(4 + x) $.
(1)求函数 $ f(x) $ 的定义域;
(2)判断并证明函数 $ f(x) $ 的奇偶性;
(3)求不等式 $ f(x)\lt0 $ 的解集.

答案： 解:
(1)由$\left\{\begin{array}{l} 4-x＞0,\\ 4+x＞0,\end{array}\right. $得$-4＜x＜4$,所以函数$f(x)$的定义域为$(-4,4).$
(2)函数$f(x)$为奇函数.证明如下:因为函数$f(x)$的定义域为$(-4,4)$,所以定义域关于原点对称.因为$f(-x)=log_{\frac {1}{2}}(4+x)-log_{\frac {1}{2}}(4-x)=-[log_{\frac {1}{2}}(4-x)-log_{\frac {1}{2}}(4+x)]=-f(x),$所以$f(x)$为奇函数.
(3)由$f(x)＜0$,得$log_{\frac {1}{2}}(4-x)-log_{\frac {1}{2}}(4+x)＜0,$所以$log_{\frac {1}{2}}(4-x)＜log_{\frac {1}{2}}(4+x)$,因为$y=log_{\frac {1}{2}}x$在定义域内为减函数,所以$\left\{\begin{array}{l} 4-x＞0,\\ 4+x＞0,\\ 4-x＞4+x,\end{array}\right. $解得$-4＜x＜0$.所以不等式$f(x)＜0$的解集为$(-4,0).$