《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例 3] 某公司为了实现 $ 60 $ 万元的利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到 $ 5 $ 万元时,按利润进行奖励,且奖金 $ y $(单位:万元) 随利润 $ x $(单位:万元) 的增加而增加,但奖金总数不超过 $ 3 $ 万元,同时奖金不超过利润的 $ 20\% $. 现有三个奖励模型: $ y = 0.2x,y = \log_5 x,y = 1.02^x $,其中哪个模型符合该公司的要求?
听课记录:

答案： 作出函数y=3,y=0.2x,y=log₅x,y=1.02ˣ的图象(如图所示).观察图象可知,在区间[5,60]上,y=0.2x,y=1.02ˣ的图象都有一部分在直线y=3的上方，只有y=log₅x的图象始终在y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log₅x进行奖励才符合公司的要求.

3. 某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如表:

为估计以后每月对该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数 $ y = ax + b $ 或 $ y = a^x + b $($ a,b $ 为常数,且 $ a ＞ 0 $) 来模拟这种电脑元件的月产量 $ y $ 千件与月份的关系. 请问:用以上哪个模拟函数较好? 请说明理由.

答案： 将(1,50),(2,52)分别代入两个解析式得{50=a+b,52=2a+b}或{50=a+b,52=a²+b}(a＞0),解得{a=2,b=48}(两方程组的解相同).所以两个函数分别为y=2x+48或y=2ˣ+48.当x=3时,对于y=2x+48有y=54;当x=3时,对于y=2ˣ+48有y=56.由于56与53.9的误差较大，所以选y=ax+b较好.