《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

4. 已知$a ＞ b ＞ 0$,$c ＜ d ＜ 0$,$m ＜ 0$,求证：
(1)$\frac{1}{a - c} ＜ \frac{1}{b - d}$；
(2)$\frac{m}{a - c} ＞ \frac{m}{b - d}$.

答案：
(1)因为$a＞b＞0,-c＞-d＞0$,所以$a-c＞b-d＞0$,所以$\frac {1}{a-c}＜\frac {1}{b-d}.$
(2)由
(1)得$\frac {1}{a-c}＜\frac {1}{b-d}$,又$m＜0$,所以$\frac {m}{a-c}＞\frac {m}{b-d}.$

[例 4] 已知$-1 ＜ x ＜ 4$,$2 ＜ y ＜ 3$.
(1)求$x - y$的取值范围；
(2)求$3x + 2y$的取值范围.
听课记录:
[变式拓展]
1. 若将本例条件改为“$-1 ＜ x ＜ y ＜ 3$”,求$x - y$的取值范围.
2. 若将本例条件改为“$-1 ＜ x + y ＜ 4$,$2 ＜ x - y ＜ 3$”,求$3x + 2y$的取值范围.

答案： 解:
(1)因为$-1＜x＜4,2＜y＜3$,所以$-3＜-y＜-2$,所以$-4＜x-y＜2.$所以$x-y$的取值范围是$(-4,2).$
(2)由$-1＜x＜4,2＜y＜3$,得$-3＜3x＜12,4＜2y＜6$,所以$1＜3x+2y＜18.$所以$3x+2y$的取值范围是$(1,18).$
变式拓展
1.解:因为$-1＜x＜3,-1＜y＜3$,所以$-3＜-y＜1$,所以$-4＜x-y＜4.$又因为$x＜y$,所以$x-y＜0$,所以$x-y$的取值范围是$(-4,0).$
2.解:设$3x+2y=m(x+y)+n(x-y),$则$\left\{\begin{array}{l} m+n=3,\\ m-n=2,\end{array}\right. $所以$\left\{\begin{array}{l} m=\frac {5}{2},\\ n=\frac {1}{2}.\end{array}\right. $即$3x+2y=\frac {5}{2}(x+y)+\frac {1}{2}(x-y),$又因为$-1＜x+y＜4,2＜x-y＜3,$所以$-\frac {5}{2}＜\frac {5}{2}(x+y)＜10,1＜\frac {1}{2}(x-y)＜\frac {3}{2},$所以$-\frac {3}{2}＜\frac {5}{2}(x+y)+\frac {1}{2}(x-y)＜\frac {23}{2},$即$-\frac {3}{2}＜3x+2y＜\frac {23}{2}.$所以$3x+2y$的取值范围是$(-\frac {3}{2},\frac {23}{2}).$

5. (1)已知$1 ＜ a ＜ 4$,$2 ＜ b ＜ 8$,试求$2a + 3b与a - b$的取值范围；
(2)已知$-6 ＜ a ＜ 8$,$2 ＜ b ＜ 3$,求$\frac{a}{b}$的取值范围.

答案：
(1)$\because 1＜a＜4,2＜b＜8,\therefore 2＜2a＜8,6＜3b＜24,$$\therefore 8＜2a+3b＜32.\because 2＜b＜8,\therefore -8＜-b＜-2.$又$1＜a＜4,\therefore 1+(-8)＜a+(-b)＜4+(-2),$即$-7＜a-b＜2.$$\therefore 2a+3b$的取值范围是$(8,32),a-b$的取值范围是$(-7,2).$
(2)$\because 2＜b＜3,\therefore \frac {1}{3}＜\frac {1}{b}＜\frac {1}{2}.$①当$0≤a＜8$时,$0≤\frac {a}{b}＜4;$②当$-6＜a＜0$时,$-3＜\frac {a}{b}＜0.$由①②得$-3＜\frac {a}{b}＜4$,即$\frac {a}{b}$的取值范围是$(-3,4).$