《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例 4] 学校开运动会,某班 45 人,参加 100 m 跑的同学 20 人,参加 200 m 跑的同学 20 人,参加 400 m 跑的同学 17 人,既参加 100 m 跑又参加 200 m 跑的同学 10 人,既参加 100 m 跑又参加 400 m 跑的同学 7 人,既参加 200 m 跑又参加 400 m 跑的同学 8 人,都不参加的同学 11 人,则同时参加 100 m,200 m,400 m 跑的同学有 ( )

A.1 人
B.2 人
C.3 人
D.4 人
听课记录：

答案：
选B 设同时参加100m,200m,400m跑的同学有x人,作出Venn图如图所示,

∴3+x+2+x+2+x+10-x+7-x+8-x+x+11=45,解得x=2.

4. 某社团有若干名社员,他们至少参加了 $ A $,$ B $,$ C $ 三项活动中的一项。得知参加 $ A $ 活动的有 51 人,参加 $ B $ 活动的有 60 人,参加 $ C $ 活动的有 50 人,数据如图所示,则图中 $ a = $9,$ b = $8,$ c = $10。

答案： 解析:由题意得{28+a+b+6=51,35+a+c+6=60,26+b+c+6=50},解得{a=9,b=8,c=10}.
答案:9 8 10

[例 5] 设集合 $ A = \{ - 1,0,1 \} $,$ B = \{ 0,1,2,3 \} $,定义 $ A \cdot B = \{ ( x, y ) | x \in A \cap B $,$ y \in A \cup B \} $,则 $ A \cdot B $ 中元素的个数是 (B)
A.7
B.10
C.$ 2 ^ { 5 } $
D.$ 5 ^ { 2 } $
听课记录：

答案： 选B 因为A={-1,0,1},B={0,1,2,3},所以A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}.由x∈A∩B,可知x可取0,1;由y∈A∪B,可知y可取-1,0,1,2,3.所以元素(x,y)的所有结果如下表所示:
0　　　1　　　2　　　3
0　(0，-1)(0,0)(0，1)(0,2)(0,3)
1　(1,-1)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)
所以A·B中的元素共有10个.故选B.

5. (多选)若集合 $ A $ 具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若 $ \{ x, y \} \subseteq A $,则 $ x y $,$ x + y \in A $,且当 $ x \neq 0 $ 时,$ \frac { y } { x } \in A $,则称集合 $ A $ 是“紧密集合”。
以下说法正确的是 (BC)
A.整数集是“紧密集合”
B.实数集是“紧密集合”
C.“紧密集合”可以是有限集
D.若集合 $ A $ 是“紧密集合”,且 $ x $,$ y \in A $,则 $ x - y \in A $

答案： 选BC A选项,若x=2,y=1,而$\frac{1}{2}$∉Z,故整数集不是“紧密集合”,A错误;B选项,根据“紧密集合”的性质,实数集是“紧密集合”,B正确;C选项,集合{-1,0,1}是“紧密集合”,故“紧密集合”可以是有限集,C正确;D选项,集合A={-1,0,1}是“紧密集合”,当x=1,y=-1时,x-y=2∉A,D错误.故选BC.