《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

2. 求值：
(1) $ \log_23 × \log_35 × \log_516 $；
(2) $ (\log_32 + \log_92)(\log_43 + \log_83) $.

答案： 2.解:
(1)原式$=\frac{\lg 3}{\lg 2}×\frac{\lg 5}{\lg 3}×\frac{\lg 16}{\lg 5}=\frac{\lg 16}{\lg 2}=\frac{4\lg 2}{\lg 2}=4$.
(2)原式$=(\frac{\lg 2}{\lg 3}+\frac{\lg 2}{\lg 9})(\frac{\lg 3}{\lg 4}+\frac{\lg 3}{\lg 8})$
$=(\frac{\lg 2}{\lg 3}+\frac{\lg 2}{2\lg 3})(\frac{\lg 3}{2\lg 2}+\frac{\lg 3}{3\lg 2})$
$=\frac{3\lg 2}{2\lg 3}×\frac{5\lg 3}{6\lg 2}=\frac{5}{4}$.

[例3] 在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 $ v $(单位：$ m/s $)和燃料的质量 $ M $(单位：$ kg $),火箭(除燃料外)的质量 $ m $(单位：$ kg $)满足 $ e^v = (1 + \frac{M}{m})^{2000} $($ e $ 为自然对数的底数)($ \ln3 \approx 1.099 $). 当燃料质量 $ M $ 为火箭(除燃料外)质量 $ m $ 的两倍时,求火箭的最大速度(单位：$ m/s $).
听课记录：

答案： 解:因为$v=\ln(1+\frac{M}{m})^{2000}=2000\ln(1+\frac{M}{m})$,
所以$v=2000\ln 3\approx2000×1.099=2198(m/s)$.
故当燃料质量$M$为火箭(除燃料外)质量$m$的两倍时,火箭的最大速度为2198 m/s.

3. (2024·北京高考) 生物丰富度指数 $ d = \frac{S - 1}{\ln N} $ 是河流水质的一个评价指标,其中 $ S $,$ N $ 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数. 生物丰富度指数 $ d $ 越大,水质越好. 如果某河流治理前后的生物种类数 $ S $ 没有变化,生物个体总数由 $ N_1 $ 变为 $ N_2 $,生物丰富度指数由 $ 2.1 $ 提高到 $ 3.15 $,则(D)
A.$ 3N_2 = 2N_1 $
B.$ 2N_2 = 3N_1 $
C.$ N_2^2 = N_1^3 $
D.$ N_3^3 = N_1^2 $

答案： 选D 由题意,得$\ln\frac{S-1}{N_{1}}=2.1$,$\ln\frac{S-1}{N_{2}}=3.15$.若$S$不变,则$2.1\ln N_{1}=3.15\ln N_{2}$,即$2\ln N_{1}=3\ln N_{2}$,所以$N_{1}^{2}=N_{2}^{3}$.