《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

1. 函数$y = 2x(3 - x)$的图象可能是 (B)

A.
B.
C.
D.

答案： B

2. 把函数$y = x^{2}$的图象向下平移1个单位长度,将得到的函数图象上各点横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,得到的函数解析式为 (B)
A.$y = 2x^{2} - 1$
B.$y = 2x^{2} - 2$
C.$y = 2x^{2} + 1$
D.$y = 2x^{2} + 2$

答案： B

3. 在同一坐标系中作出下列函数的图象。
(1)$y = x^{2}$; (2)$y = x^{2} - 2$; (3)$y = 2x^{2} - 4x$. 并分析如何把$y = x^{2}的图象变换成y = 2x^{2} - 4x$的图象。

答案：
解:列表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x² 9 4 1 0 1 4 9
y=x²-2 7 2 -1 -2 -1 2 7
y=2x²-4x 30 16 6 0 -2 0 6
描点、连线即得相应函数的图象，如图所示.
由图象可知由y=x²到y=2x²-4x(即y=2(x-1)²-2)的变化过程如下.
法一:先把y=x²的图象向右平移1个单位长度得到y=(x-1)²的图象，然后把y=(x-1)²的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y=2(x-1)²的图象，最后把y=2(x-1)²的图象向下平移2个单位长度便可得到y=2x²-4x的图象.
法二:先把y=x²的图象向下平移1个单位长度得到y=x²-1的图象，然后再把y=x²-1的图象向右平移1个单位长度得到y=(x-1)²-1的图象，最后把y=(x-1)²-1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y=2(x-1)²-2，即y=2x²-4x的图象.

[例1] 已知一元二次函数的最大值是8,且当$x = 2$时,$y = -1$; 当$x = -1$时,$y = -1$. 求此一元二次函数的解析式。
听课记录：解法一:利用一般式
设y=ax²+bx+c(a≠0).
由题意得{4a+2b+c=-1,
a-b+c=-1,
(4ac-b²)/(4a)=8,
解得{a=-4,
b=4,
c=7.
∴所求一元二次函数的解析式为y=-4x²+4x+7.
解法二:利用顶点式
设y=a(x-m)²+n.
∵当x=2时,y=-1,且x=-1时,y=-1.
∴抛物线的对称轴为x=(2+(-1))/2=1/2.
∴m=1/2.又根据题意知函数有最大值8,
∴n=8.
∴y=a(x-1/2)²+8.
又抛物线过点(2,-1),
∴a(2-1/2)²+8=-1,解得a=-4,
∴y=-4(x-1/2)²+8=-4x²+4x+7.

答案： 解法一:利用一般式
设y=ax²+bx+c(a≠0).
由题意得{4a+2b+c=-1,
a-b+c=-1,
(4ac-b²)/(4a)=8,
解得{a=-4,
b=4,
c=7.
∴所求一元二次函数的解析式为y=-4x²+4x+7.
解法二:利用顶点式
设y=a(x-m)²+n.
∵当x=2时,y=-1,且x=-1时,y=-1.
∴抛物线的对称轴为x=(2+(-1))/2=1/2.
∴m=1/2.又根据题意知函数有最大值8,
∴n=8.
∴y=a(x-1/2)²+8.
又抛物线过点(2,-1),
∴a(2-1/2)²+8=-1,解得a=-4,
∴y=-4(x-1/2)²+8=-4x²+4x+7.