《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

1. 基本不等式
设$a\geq0,b\geq0$,则$\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}$,当且仅当$a = b$时,等号成立。这个不等式称为基本不等式,其中,$\frac{a+b}{2}$称为$a,b$的算术平均值,$\sqrt{ab}$称为$a,b$的几何平均值。可表述为：两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。

答案： $\frac{a+b}{2}$ $\sqrt{ab}$ 大于或等于

1. 判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1) 若$a\geq0,b\geq0且a\neq b$,则$a + b\gt2\sqrt{ab}$。 (√)
(2) $6和8的几何平均值为2\sqrt{3}$。 (×)
(3) 对任意$a,b\in\mathbf{R},a^{2}+b^{2}\geq2ab,a + b\geq2\sqrt{ab}$均成立。 (×)
(4) 若$a\neq0$,则$a+\frac{1}{a}\geq2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}} = 2$。 (×)

答案： 1.
(1)√
(2)×
(3)×
(4)×

2. 不等式$a^{2}+1\geq2a$中等号成立的条件是 (B)
A.$a= \pm1$
B.$a = 1$
C.$a = - 1$
D.$a = 0$

答案： B

3. 设$a\gt b\gt0$,则下列不等式一定成立的是 (C)
A.$a - b\lt0$
B.$0\lt\frac{a}{b}\lt1$
C.$\sqrt{ab}\lt\frac{a + b}{2}$
D.$ab\gt a + b$

答案： C

4. (多选)当$a,b\in\mathbf{R}$时,下列不等关系不成立的是 (ABD)
A.$\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}$
B.$a - b\geq2\sqrt{ab}$
C.$a^{2}+b^{2}\geq2ab$
D.$a^{2}-b^{2}\geq2ab$

答案： ABD