《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例3] 已知$p:-2\leq x\leq 10,q:1 - m\leq x\leq 1 + m(m ＞ 0)$,若$p是q$的必要不充分条件,则实数$m$的取值范围为(0,3].
听课记录:
[变式拓展]
1. 若本例中“$p是q$的必要不充分条件”改为“$p是q$的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数$m$的取值范围.
2. 若本例中$p,q$不变,是否存在实数$m使p是q$的充要条件? 若存在,求出$m$的值;若不存在,请说明理由.

答案： 解析:设p代表的集合为A={x|-2≤x≤10},q代表的集合为B={x|1-m≤x≤1+m},因为p是q的必要不充分条件,所以B⫋A,故有$\left\{\begin{array}{l} 1-m\geq -2,\\ 1+m\leq 10\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} 1-m＞-2,\\ 1+m\leq 10,\end{array}\right. $解得m≤3.又m＞0,所以实数m的取值范围为(0,3].答案:(0,3]
[变式拓展]
1. 解:设p代表的集合为A,q代表的集合为B,因为p是q的充分不必要条件,所以A⫋B.所以$\left\{\begin{array}{l} 1-m\leq -2,\\ 1+m＞10\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} 1-m＜-2,\\ 1+m\geq 10.\end{array}\right. $解得m≥9,即实数m的取值范围是[9,+∞).
2. 解:若p是q的充要条件,则$\left\{\begin{array}{l} -2=1-m,\\ 10=1+m\end{array}\right. $此方程组无解,故不存在实数m,使得p是q的充要条件.

3. 已知$P = \{ x|a - 4 ＜ x ＜ a + 4\},Q = \{ x|1 ＜ x ＜ 3\}$,“若$x\in P$”是“$x\in Q$”的必要条件,求实数$a$的取值范围.

答案： 解:因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,所以Q⊆P.所以$\left\{\begin{array}{l} a-4\leq 1,\\ a+4\geq 3,\end{array}\right. $即$\left\{\begin{array}{l} a\leq 5,\\ a\geq -1.\end{array}\right. $所以-1≤a≤5.故实数a的取值范围为[-1,5].