《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例 2] 函数$f(x)= \ln x-\frac{2}{x}$的零点所在的大致区间是(B)
A.$(1,2)$
B.$(2,3)$
C.$(\frac{1}{e},1)和(3,4)$
D.$(e,+\infty)$

答案： 选B
∵f
(1)= -2 ＜ 0,f
(2)=ln 2 - 1 ＜ 0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,
∴在(1,2)内f(x)无零点.故排除A.
∵f
(3)=ln 3 - $\frac{2}{3}$ ＞ 0,
∴f
(2)f
(3) ＜ 0.
∴f(x)在(2,3)内有一个零点.

[例 3] 若$x_{0}是方程e^{x}+x = 2$的解,则$x_{0}$属于区间(C)
[变式拓展]
1. 解析:令f(x)=log₃x+x - 3,则f
(2)=log₃2 - 1 ＜ 0,f
(3)=1 ＞ 0,由零点存在定理得f
(2)f
(3) ＜ 0,
∴零点所在区间为(2,3),
∴k = 2.
答案:2
2. 解析:
∵函数f(x)=eˣ+4x+a为增函数,其零点所在的区间为(0,1),
∴{f
(0)=e⁰+a ＜ 0,f
(1)=e + 4 + a ＞ 0},解得 -e - 4 ＜ a ＜ -1.
答案:(-e - 4,-1)
A.$(-2,-1)$
B.$(-1,0)$
C.$(0,1)$
D.$(1,2)$
听课记录：
[变式拓展]
1. 若例 2 的题设改为：若方程$\log_{3}x + x = 3的解所在的区间是(k,k + 1)且k\in Z$,则$k= $____.
2. 若例 3 的题设改为：若函数$f(x)= e^{x}+4x + a的零点所在的区间为(0,1)$,则实数$a$的取值范围是____.

答案： 选C 构造函数f(x)=eˣ+x - 2,由f
(0)= -1,f
(1)=e - 1 ＞ 0,显然函数f(x)是单调递增函数,有且只有一个零点,则函数f(x)的零点在区间(0,1)内,所以方程eˣ+x = 2的解在区间(0,1)内.
[变式拓展]
1. 解析:令f(x)=log₃x+x - 3,则f
(2)=log₃2 - 1 ＜ 0,f
(3)=1 ＞ 0,由零点存在定理得f
(2)f
(3) ＜ 0,
∴零点所在区间为(2,3),
∴k = 2.
答案:2
2. 解析:
∵函数f(x)=eˣ+4x+a为增函数,其零点所在的区间为(0,1),
∴{f
(0)=e⁰+a ＜ 0,f
(1)=e + 4 + a ＞ 0},解得 -e - 4 ＜ a ＜ -1.
答案:(-e - 4,-1)

[例 4] 函数$f(x)= \frac{1}{2}x^{2}+\ln x - 2020$的零点个数是(C)
A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.$0$

答案： 选C 函数f(x) = $\frac{1}{2}$x² + ln x - 2020的定义域为(0,+∞),因为函数y = $\frac{1}{2}$x²,y = ln x - 2020在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.又f
(1) = $\frac{1}{2}$ - 2020 ＜ 0,f
(2020)=1009×2020 + ln 2020 ＞ 0,由零点存在定理得,函数f(x) = $\frac{1}{2}$x² + ln x - 2020的零点个数是1.故选C.

[例 5] 函数$f(x)= \ln x + x^{2}-3$的零点个数是1.
听课记录：

答案： 解析:法一:函数对应的方程为ln x + x² - 3 = 0,所以原函数零点的个数即为函数y = ln x与y = 3 - x²(x ＞ 0)的图象的交点个数.在同一平面直角坐标系下,作出两函数的图象(如图).由图象知,函数y = 3 - x²(x ＞ 0)与y = ln x的图象只有一个交点.从而方程ln x + x² - 3 = 0有一个根,即函数f(x)=ln x + x² - 3有一个零点.
法二:由于f
(1)=ln 1 + 1² - 3 = -2 ＜ 0,f
(2)=ln 2 + 2² - 3 = ln 2 + 1 ＞ 0,所以f
(1)f
(2) ＜ 0.又f(x)=ln x + x² - 3的图象在(1,2)上是连续的,所以f(x)在(1,2)内必有零点.又f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,所以零点只有一个.
答案:1

2. 已知函数$f(x)= \begin{cases}4x - 4,0＜x\leq1,\\x^{2}-4x + 3,x＞1\end{cases} 和函数g(x)= \log_{2}x$,则函数$h(x)= f(x)-g(x)$的零点个数是3.

答案： 解析:作出g(x)与f(x)的图象,如图,由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点,即h(x)有3个零点.
答案:3