《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例2]
已知函数 $ f(x) = \frac{6}{1 - x} + 3(x \in [2, 4]) $,求函数 $ f(x) $ 的最大值和最小值.

答案： 解:设x₁,x₂∈[2,4],且x₁＜x₂,则f(x₁)-f(x₂)=(6/(1-x₁)+3)-(6/(1-x₂)+3)=(6(x₂-x₁))/((1-x₁)(1-x₂)).
∵2≤x₁＜x₂≤4,
∴x₁-x₂＜0,x₁-1＞0,x₂-1＞0.
∴f(x₁)-f(x₂)＜0,即f(x₁)＜f(x₂).
∴函数f(x)在区间[2,4]上为增函数.
∴f(x)max=f
(4)=1,f(x)min=f
(2)=-3.故函数f(x)=6/(1-x)+3在区间[2,4]上的最大值为1，最小值为-3.

2. 已知函数 $ f(x) = \frac{1}{x^2} + 1 $.
(1) 判断函数 $ f(x) $ 在区间 $ (0, +\infty) $ 上的单调性并证明.
(2) 求 $ f(x) $ 在 $ [1, 3] $ 上的最值.
题型(三) 一元二次函数的最值

答案： 2.解:
(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.证明如下:
设∀x₁,x₂∈(0,+∞),且x₁＜x₂,
则f(x₁)-f(x₂)=(1/x₁²+1)-(1/x₂²+1)=((x₁+x₂)(x₂-x₁))/(x₁x₂)².
因为x₂＞x₁＞0,所以x₁+x₂＞0,x₂-x₁＞0,(x₁x₂)²＞0,所以f(x₁)-f(x₂)＞0,即f(x₁)＞f(x₂).
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
(2)由
(1)知函数f(x)在区间[1,3]上单调递减,所以当x=1时,f(x)取最大值,最大值为f
(1)=2;当x=3时,f(x)取最小值,最小值为f
(3)=10/9.