《2025年芝麻开花美在课堂高一数学必修第一册北师大版》

[例1] (2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:$ kg $)并整理下表:


根据表中数据,下列结论中正确的是 (C)
A.100块稻田亩产量的中位数小于$ 1050 kg $
B.100块稻田中亩产量低于$ 1100 kg 的稻田所占比例超过 80 \% $
C.100块稻田亩产量的极差介于$ 200 kg 至 300 kg $之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于$ 900 kg 至 1000 kg $之间

答案： 选C 对于A,根据频数分布表可知,6+12+18=36＜50,所以亩产量的中位数不小于1050 kg,故A错误;对于B,亩产量不低于1100 kg的频数为24+10=34,所以低于1100 kg的稻田占比为$\frac {34}{100}=66\%$,故B错误;对于C,稻田亩产量的极差最大约为1200-900=300,最小约为1150-950=200,故C正确;对于D,由频数分布表可得,100块稻田亩产量的平均值为$\frac {1}{100}×(6×925+12×975+18×1025+30×1075+24×1125+10×1175)=1067$,故D错误.

[例2] 为调查家庭人口数,从某小区抽取了263户家庭,人口数表示如下,求该样本的平均数,中位数,方差和标准差.(精确到0.01)

答案： 解:根据题意,该样本的平均数为$\overline {x}=\frac {1}{263}×(1×20+2×29+3×48+4×50+5×46+6×36+7×19+8×8+9×4+10×3)=\frac {1131}{263}\approx 4.30;$因为$20+29+48=97＜\frac {263}{2},97+50=147＞\frac {263}{2}$,所以该样本的中位数为4;该样本的方差为$s^{2}=\frac {1}{263}×(20×3.3^{2}+29×2.3^{2}+48×1.3^{2}+50×0.3^{2}+46×0.7^{2}+36×1.7^{2}+19×2.7^{2}+8×3.7^{2}+4×4.7^{2}+3×5.7^{2})\approx 3.87;$因为$1.965^{2}=3.861225,1.97^{2}=3.8809,$所以该样本的标准差为$s=\sqrt {s^{2}}=\sqrt {3.87}\approx 1.97.$

1. 若数据$ x _ { 1 }, x _ { 2 }, x _ { 3 }, …, x _ { n }$ 的平均数为 $\overline { x } = 5$ ,方差$ s ^ { 2 } = 2 $,则数据$ 3 x _ { 1 } + 1, 3 x _ { 2 } + 1, 3 x _ { 3 } + 1, …, 3 x _ { n } + 1 $的平均数和方差分别为 (C)
A.5,2
B.16,2
C.16,18
D.16,9

答案： 选C 法一:$\because x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}$的平均数为5,$\therefore \frac {1}{n}×(x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n})=5,$$\therefore \frac {1}{n}×(3x_{1}+3x_{2}+3x_{3}+\cdots +3x_{n})+1=3×5+1=16.$$\because x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}$的方差为2,$\therefore 3x_{1}+1,3x_{2}+1,3x_{3}+1,\cdots ,3x_{n}+1$的方差是$3^{2}×2=18.$法二:观察新数据与原数据的关系,可知新数据的平均数为$3\overline {x}+1=3×5+1=16$,新方差为$3^{2}s^{2}=9×2=18.$

2. 某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生.随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 (C)
A.这种抽样方法是一种分层随机抽样
B.这五名男生成绩的中位数大于这五名女生成绩的中位数
C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

答案： 选C 对于A,若抽样方法为分层随机抽样,则男生,女生分别抽取6人,4人,故A错误;对于B,这5名男生成绩的中位数是90,这5名女生成绩的中位数为93,因为90＜93,故B错误;对于C,这5名男生成绩的平均数是$\overline {x}_{1}=\frac {1}{5}×(86+94+88+92+90)=90$,这5名女生成绩的平均数是$\overline {x}_{2}=\frac {1}{5}×(88+93+93+88+93)=91$,这5名男生成绩的方差是$\frac {1}{5}[(86-90)^{2}+(94-90)^{2}+(88-90)^{2}+(92-90)^{2}+(90-90)^{2}]=8$,这5名女生成绩的方差是$\frac {1}{5}[(88-91)^{2}×2+(93-91)^{2}×3]=6$,所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差,故C正确;对于D,这5名男生成绩的平均数小于这5名女生成绩的平均数,不能得出该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数,故D错误.