《2025年新课标同步单元练习七年级数学上册北师大版深圳专版》

1. 已知线段$ AB = 12cm $,在直线AB上有一点C,且$ BC = 4cm $,M是线段AC的中点,求线段AM的长度。

答案：
解：①当点C在线段AB上时，如答图4 - 1 - 4所示，

因为M是线段AC的中点，
所以AM = $\frac{1}{2}$AC。
又因为AC = AB - BC，AB = 12cm，BC = 4cm，
所以AM = $\frac{1}{2}$(AB - BC) = $\frac{1}{2}$(12 - 4) = 4(cm)。
②当点C在线段AB的延长线上时，如答图4 - 1 - 5所示，

因为M是线段AC的中点，
所以AM = $\frac{1}{2}$AC。
又因为AC = AB + BC，AB = 12cm，BC = 4cm，
所以AM = $\frac{1}{2}$(AB + BC) = 8(cm)。
所以线段AM的长度为4cm或8cm。

2. (1)如图4-1-14,线段$ AB = 4 $,O是线段AB上一点,C,D分别是线段OA,OB的中点,求CD的长度。
(2)小明在反思过程中突发奇想：若点O运动到AB的延长线上,(1)中原有的结论是否仍然成立?请帮助小明画出图形并说明理由。
]

答案：

(1)因为C，D分别是线段OA，OB的中点，
所以OC = $\frac{1}{2}$OA，OD = $\frac{1}{2}$OB。
因为AB = 4，
所以CD = OC + OD = $\frac{1}{2}$OA + $\frac{1}{2}$OB = $\frac{1}{2}$AB = 2，
所以CD的长度为2。
(2)若点O运动到AB的延长线上，
(1)中原有的结论仍然成立。理由如下：
如答图4 - 1 - 6：

因为C，D分别是线段OA，OB的中点，
所以OC = $\frac{1}{2}$OA，OD = $\frac{1}{2}$OB。
因为AB = 4，
所以CD = OC - OD = $\frac{1}{2}$OA - $\frac{1}{2}$OB = $\frac{1}{2}$AB = 2。

3. 如图4-1-15,在一条数轴上,A点表示数a,B点表示数b,C点表示数c,b是最小的正整数,且a,c满足$ |a + 2| + (c - 7)^2 = 0 $。

(1)$ a = $-2,$ b = $1,$ c = $7。
(2)点P从点A出发,以2单位长度/s的速度沿数轴向右匀速运动,点Q从点C出发,沿数轴向左匀速运动,两点同时出发,当点Q运动到点A时,点P,Q停止运动。当$ PB = 2PO $时,点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点,求点Q的运动速度(注：点O为数轴原点)。
因为点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点，
所以点Q表示的数是-1，此时CQ = 7 - (-1) = 8。
由PB = 2PO，可分两种情况：
①当点P在OB上时，得OP = $\frac{1}{3}$OB = $\frac{1}{3}$，
此时AP = AO + OP = 2 + $\frac{1}{3}$ = $\frac{7}{3}$；
所以点P的运动时间为$\frac{7}{3}$÷2 = $\frac{7}{6}$(s)，
所以点Q的运动速度为8÷$\frac{7}{6}$ = $\frac{48}{7}$(单位长度/s)；
②当点P在AO上时，得PO = OB = 1，
此时AP = AO - PO = 2 - 1 = 1，
所以点P的运动时间是1÷2 = $\frac{1}{2}$(s)，
所以点Q的运动速度为8÷$\frac{1}{2}$ = 16(单位长度/s)，
综上，点Q的运动速度是$\frac{48}{7}$单位长度/s或16单位长度/s。
(3)在(2)的条件下,当点P运动到线段OB上时,分别取AP和OB的中点E,F。请问：$ \frac{AB - OP}{EF} $的值是否随着时间t的变化而变化?若变化,请说明理由；若不变,请求其值。
不变。
设运动时间为t s，此时AP = 2t，OP = 2t - 2。
因为E是AP的中点，
所以AE = t。
因为F是OB的中点，OB = 1，
所以BF = $\frac{1}{2}$，
所以EF = AB - AE - BF = 3 - t - $\frac{1}{2}$ = $\frac{5}{2}$ - t，
所以$\frac{AB - OP}{EF}$ = $\frac{3 - (2t - 2)}{\frac{5}{2} - t}$ = $\frac{5 - 2t}{\frac{5}{2} - t}$ = 2。

答案：
(1)-2 1 7
(2)因为点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点，
所以点Q表示的数是-1，此时CQ = 7 - (-1) = 8。
由PB = 2PO，可分两种情况：
①当点P在OB上时，得OP = $\frac{1}{3}$OB = $\frac{1}{3}$，
此时AP = AO + OP = 2 + $\frac{1}{3}$ = $\frac{7}{3}$；
所以点P的运动时间为$\frac{7}{3}$÷2 = $\frac{7}{6}$(s)，
所以点Q的运动速度为8÷$\frac{7}{6}$ = $\frac{48}{7}$(单位长度/s)；
②当点P在AO上时，得PO = OB = 1，
此时AP = AO - PO = 2 - 1 = 1，
所以点P的运动时间是1÷2 = $\frac{1}{2}$(s)，
所以点Q的运动速度为8÷$\frac{1}{2}$ = 16(单位长度/s)，
综上，点Q的运动速度是$\frac{48}{7}$单位长度/s或16单位长度/s。
(3)不变。
设运动时间为t s，此时AP = 2t，OP = 2t - 2。
因为E是AP的中点，
所以AE = t。
因为F是OB的中点，OB = 1，
所以BF = $\frac{1}{2}$，
所以EF = AB - AE - BF = 3 - t - $\frac{1}{2}$ = $\frac{5}{2}$ - t，
所以$\frac{AB - OP}{EF}$ = $\frac{3 - (2t - 2)}{\frac{5}{2} - t}$ = $\frac{5 - 2t}{\frac{5}{2} - t}$ = 2。