《2025年新课标同步单元练习七年级数学上册北师大版深圳专版》

2. 阅读下列材料,完成相应的任务：
对称式
在一个含有多个字母的代数式中,如果任意交换两个字母的位置,代数式的值都不变,这样的代数式就叫作对称式。例如：代数式 $abc$ 中任意两个字母交换位置,可得到代数式 $bac$,$acb$,$cba$。因为 $abc = bac = acb = cba$,所以 $abc$ 是对称式。而交换代数式 $a - b$ 中字母 $a$,$b$ 的位置,得到代数式 $b - a$,因为 $a - b$ 与 $b - a$ 不一定相等,所以 $a - b$ 不是对称式。
任务：
(1)下列代数式中,是对称式的是__________(填序号)。
①$a + b + c$；②$a^{2} + b^{2}$；③$a^{2}b$；④$\frac{a}{b}$。
(2)写出一个只含有字母 $x$,$y$ 的单项式,使该单项式是对称式,且次数为 6。
(3)已知 $A = 2a^{2} + 4b^{2}$,$B = a^{2} - 2ab$,求 $A + 2B$,并直接判断所得结果是不是对称式。
(1)①②
(2)$x^{3}y^{3}$
(3)因为$A=2a^{2}+4b^{2}$，$B=a^{2}-2ab$，所以$A+2B=2a^{2}+4b^{2}+2(a^{2}-2ab)=2a^{2}+4b^{2}+2a^{2}-4ab=4a^{2}+4b^{2}-4ab$，结果是对称式。

答案：
(1)①②解析：由定义可知①②是对称式。
(2)x³y³
(3)因为A=2a²+4b²，B=a²-2ab，所以A+2B=2a²+4b²+2(a²-2ab)=2a²+4b²+2a²-4ab=4a²+4b²-4ab，结果是对称式。

3. 如果一个正整数满足各数位上的数字都相同,我们称这样的正整数为“稳定数”,比如：2,55,888,1111 等。对任意一个三位数 $n$,如果 $n$ 满足各数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数 $n$ 为“变动数”。将一个“变动数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和记为 $M(n)$。例如 $n = 123$,对调百位与十位上的数字得到 213,对调百位与个位上的数字得到 321,对调十位与个位上的数字得到 132,这三个新三位数的和 $M(123) = 213 + 321 + 132 = 666$,是一个“稳定数”。
(1)计算：$M(531)$,$M(426)$,并判断它们是不是“稳定数”；
(2)若“变动数”$n = 100a + 10b + 3$(其中 $a$,$b$ 都是正整数,$1\leqslant a\leqslant 9$,$1\leqslant b\leqslant 9$),且 $M(n)$ 为最大的三位“稳定数”,求 $n$ 的值。

答案：
(1)M
(531)=351+135+513=999，是“稳定数”；
M
(426)=246+624+462=1332，不是“稳定数”。
(2)因为n=100a+10b+3(其中a，b都是正整数，1≤a≤9，1≤b≤9)，所以M(n)=111(a+b+3)。因为M(n)为最大的三位“稳定数”，所以M(n)=999，所以111(a+b+3)=999，所以a+b=6。因为n为“变动数”，n=100a+10b+3(其中a，b都是正整数，1≤a≤9，1≤b≤9)，所以a≠b≠3，所以a=1，b=5或a=2，b=4或a=4，b=2或a=5，b=1，所以n的值为153或243或423或513。