《2025年新课标同步单元练习七年级数学上册北师大版深圳专版》

1. 【概念学习】定义：求若干个相同的有理数(均不等于 0)的除法运算叫作除方,如 $2÷ 2÷ 2$,$(-3)÷ (-3)÷ (-3)÷ (-3)$ 等。类比有理数的乘方,我们把 $2÷ 2÷ 2$ 记作 $2_{3}$,读作“2 的下 3 次方”,$(-3)÷ (-3)÷ (-3)÷ (-3)$ 记作 $(-3)_{4}$,读作“-3 的下 4 次方”。一般地,把 $\underbrace{a÷ a÷ … ÷ a÷ a}_{n个}(a\neq 0)$ 记作 $a_{n}$,读作“$a$ 的下 $n$ 次方”。
直接写出计算结果：$3_{3} = $$\frac{1}{3}$,$\left(-\frac{1}{3}\right)_{3} = $$-3$。
【深入探究】我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
$\underbrace{2_{4}}_{除方}= 2÷ 2÷ 2÷ 2 = 2× \frac{1}{2}× \frac{1}{2}× \frac{1}{2} = \underbrace{(\frac{1}{2})^{2}}_{幂的形式}$
(1)仿照上面的算式,将下列运算写成幂的形式：
$4_{6} = $$(\frac{1}{4})^{4}$,$\left(-\frac{1}{4}\right)_{7} = $$(-4)^5$；
(2)将一个非零有理数 $a$ 的下 $n$ 次方写成幂的形式：$a_{n} = $$(\frac{1}{a})^{n-2}$；
【结论应用】计算：$2^{2023} - \left(-\frac{1}{2}\right)_{2024} = $$2^{2022}$。

答案： 【概念学习】$\frac{1}{3}$ -3 解析：$3_3$=3÷3÷3=3×$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$，
$(-\frac{1}{3})_3=(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})÷(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})×(-3)×(-3)=-3$。
【深入探究】
(1)$(\frac{1}{4})^4$ $(-4)^5$ 解析：$4_6$=4÷4÷4÷4÷4÷4
=4×$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}$
=$(\frac{1}{4})^4$，
$(-\frac{1}{4})_7=(-\frac{1}{4})÷(-\frac{1}{4})÷(-\frac{1}{4})÷(-\frac{1}{4})÷(-\frac{1}{4})÷(-\frac{1}{4})÷(-\frac{1}{4})$
=$(-\frac{1}{4})×(-4)×(-4)×(-4)×(-4)×(-4)×(-4)$
=$(-4)×(-4)×(-4)×(-4)×(-4)$
=$(-4)^5$。
(2)$(\frac{1}{a})^{n-2}$ 解析：$a_n=\underbrace{a÷a÷…÷a}_{n个a}$
=$a×\underbrace{\frac{1}{a}×\frac{1}{a}×…×\frac{1}{a}}_{(n-1)个}$
=$\underbrace{\frac{1}{a}×\frac{1}{a}×…×\frac{1}{a}}_{(n-2)个}$
=$(\frac{1}{a})^{n-2}$。
【结论应用】$2^{2022}$ 解析：$2^{2023}-(-\frac{1}{2})_{2024}=2^{2023}-(-2)^{2022}=2^{2023}-2^{2022}=2^{2022}(2-1)=2^{2022}$。

2. 【阅读文字】1,2,3,4,…,9,10 这 10 个自然数可以任意排列为 $a_{1}$,$a_{2}$,$a_{3}$,…,$a_{9}$,$a_{10}$。
如果这个排列是 3,2,5,4,6,7,9,8,10,1,则 $|a_{1} - a_{2}| + |a_{2} - a_{3}| + |a_{3} - a_{4}| + … + |a_{8} - a_{9}| + |a_{9} - a_{10}| = |3 - 2| + |2 - 5| + |5 - 4| + … + |8 - 10| + |10 - 1| = 22$。
【理解新知】1,2,3,4,…,9,10 这 10 个自然数可以任意排列为 $a_{1}$,$a_{2}$,$a_{3}$,…,$a_{9}$,$a_{10}$,如果这个排列是 5,2,3,4,1,7,9,8,10,6,求 $|a_{1} - a_{2}| + |a_{2} - a_{3}| + |a_{3} - a_{4}| + … + |a_{8} - a_{9}| + |a_{9} - a_{10}| $ 的值。
【解决问题】是否存在一个排列 $a_{1}$,$a_{2}$,$a_{3}$,…,$a_{9}$,$a_{10}$,使得 $|a_{1} - a_{2}| + |a_{2} - a_{3}| + |a_{3} - a_{4}| + … + |a_{8} - a_{9}| + |a_{9} - a_{10}| $ 的值最大？如果不存在,说明理由；如果存在,请你写出这个排列,并求出最大值。

答案： 解：【理解新知】
|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+|a₃-a₄|+…+|a₈-a₉|+|a₉-a₁₀|
=(5-2)+(3-2)+(4-3)+(4-1)+(7-1)+(9-7)+(9-8)+(10-8)+(10-6)
=3+1+1+3+6+2+1+2+4=23。
【解决问题】存在。
|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+|a₃-a₄|+…+|a₈-a₉|+|a₉-a₁₀|中除了a₁，a₁₀，其余数字各出现两次，可以表示为9个数的和减去9个数的和的形式，
所以要使其值最大，应使一个和最大，一个和最小。
所以|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+|a₃-a₄|+…+|a₈-a₉|+|a₉-a₁₀|的值最大为(10+10+9+9+8+8+7+7+6)-(1+1+2+2+3+3+4+4+5)=49，
所以排列可以是5，7，1，8，2，9，3，10，4，6。（答案不唯一）