《2025年新课标同步单元练习七年级数学上册北师大版深圳专版》

7. 梳理本章内容,用适当的方式呈现全章知识结构,并与同伴交流。

答案： 本章主要内容包括有理数的相关概念、运算及应用。
一、有理数的概念
1. 有理数的定义：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数。
2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
3. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。若a、b互为相反数，则a + b = 0。
4. 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。即：|a| = a（a ＞ 0）；|a| = 0（a = 0）；|a| = -a（a ＜ 0）。
5. 有理数的大小比较：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。
二、有理数的运算
1. 有理数的加法
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同0相加，仍得这个数。
加法交换律：a + b = b + a；加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 有理数的减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a - b = a + (-b)。
3. 有理数的乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。
几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
乘法交换律：a×b = b×a；乘法结合律：(a×b)×c = a×(b×c)；乘法分配律：a×(b + c) = a×b + a×c。
4. 有理数的除法
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b = a×(1/b)（b≠0）。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
5. 有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。
6. 有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
三、科学记数法与近似数
1. 科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤a＜10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。
2. 近似数：接近实际数目，但与实际数目还有差别的数叫做近似数。一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

8. 如图 1 - 5 所示,木工师傅把一根长为 1.6 m 的长方体木料沿与左侧面平行的方向锯成 3 段后,表面积比原来增加了$ 80 cm^2,$那么这根长方体木料原来的体积是多少？

答案： 解：因为把长方体木料沿与左侧面平行的方向锯成3段后，其表面积增加了四个截面的面积和，所以每个截面的面积为80÷4=20(cm²)，所以这根长方体木料原来的体积是1.6×100×20=3 200(cm³)。

1. 用 10 个大小相同的棱长是 1 cm 的小立方体组成如图 1 - 6 所示的几何体,那么这个几何体的表面积为36 cm²。

答案： 36 cm²

2. 现有一个表面涂满颜色的正方体,如图 1 - 7,将每条棱都四等分,再把它切开变成若干个小正方体,则其中三面都涂色的有8个,两面都涂色的有24个,只有一面涂色的有24个,各面都没有涂色的有8个。

答案： 8 24 24 8

3. 【项目式学习】
项目主题：包装纸盒的设计。
项目内容：精美的包装总是能让人心情愉悦,市场上的包装更是多种多样,学会用数学的眼光看世界,某学习小组结合“丰富的图形世界”的学习,开展了一次设计之旅。
任务一：图 1 - 8 中的三个几何体是市场上常见的包装模型,请分别写出每种包装对应的几何体的名称。

(1)几何体：①______②______③正三棱柱
任务二：现将 6 瓶某饮料用任务一中的三个几何体分别进行包装,每瓶该饮料近似看作一个圆柱,该饮料每瓶高约是 14 cm,底面圆半径约是 6 cm,图 1 - 9①②③分别是 6 瓶该饮料分别用几何体①、几何体②、几何体③包装后从上面看到的形状图。
(2)图 1 - 9①的形状图中长方形的面积是______ $cm^{2}$；
(3)量得图 1 - 9②中大圆的半径约是 18 cm,请写出用几何体②包装的侧面积：______ $cm^{2}$(结果保留 π)；
(4)请画出图 1 - 9③对应几何体的其中一种表面展开图。

答案：
解：
(1)①长方体 ②圆柱
(2)864
(3)504π
(4)