《2025年新课标同步单元练习七年级数学上册北师大版深圳专版》

2. 定义$f(x)= \frac{1}{1 + x^{2}}$,即当$x = 1$时,$f(1)= \frac{1}{1 + 1^{2}}= \frac{1}{2}$；当$x= \frac{1}{2}$时,$f(\frac{1}{2})= \frac{1}{1 + (\frac{1}{2})^{2}}= \frac{4}{5}$……那么$f(-2021)+f(-2020)+… + f(-2)+f(-1)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{3})+… + f(\frac{1}{2020})+f(\frac{1}{2021})= $$2020\frac{1}{2}$。

答案： $2020\frac{1}{2}$　解析:因为$f(-2)=\frac{1}{1+(-2)^{2}}=\frac{1}{5}$，$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{1+(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{4}{5}$，所以$f(-2)+f(\frac{1}{2})=1$。因为$f(-3)=\frac{1}{1+(-3)^{2}}=\frac{1}{10}$，$f(\frac{1}{3})=\frac{1}{1+(\frac{1}{3})^{2}}=\frac{9}{10}$，所以$f(-3)+f(\frac{1}{3})=1$，同理可得$f(-2021)+f(\frac{1}{2021})=1$，又$f(-1)=\frac{1}{1+(-1)^{2}}=\frac{1}{2}$，所以$f(-2021)+f(-2020)+\cdots +f(-2)+f(-1)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{3})+\cdots +f(\frac{1}{2020})+f(\frac{1}{2021})=\frac{1}{2}+1× 2020=2020\frac{1}{2}$。

3. 综合探究
【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美地结合,而平移运动和翻折变换是初中数学两种重要的图形变化。请借助数轴,结合具体情境解答下列问题：
【问题情境】
(1)平移运动
①一个点从数轴上的原点开始沿数轴运动,先向左移动2个单位长度到达点A,再向右移动2.5个单位长度到达点B,然后再向右移动4.5个单位长度到达点C。请画出一条数轴,并表示出A,B,C三点的位置。
②一机器人从数轴上的原点O开始沿数轴运动,第1次向左跳1个单位长度,紧接着第2次向右跳2个单位长度,第3次向左跳3个单位长度,第4次向右跳4个单位长度……依此规律跳,当它跳完第2021次时,落在数轴上的点表示的数是______。
(2)翻折变换
①若折叠数轴,表示-1的点与表示3的点重合,则表示5的点与表示______的点重合；
②若数轴上D,E两点之间的距离为2022(点D在点E的左侧,且折痕与①中折痕相同),且D,E两点经折叠后重合,则点D表示的数是______,点E表示的数是______；
③一条数轴上有点M,N,P,其中点M,N表示的数分别是-17,8(如图3-3-10①),现以点P为折点,将数轴向右对折,若点M对应的点$M'$落在点N的右边(如图3-3-10②),并且线段$M'N$的长度为3,请直接写出点P表示的数。

答案：
解:
(1)①根据已知可得点A表示的数为$0+(-2)=-2$，点B表示的数为$(-2)+2.5=0.5$，点C表示的数为$0.5+4.5=5$，如答图3 - 3 - 1所示:
② - 1011　解析:当它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是 - 1，当它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是1，当它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是 - 2，当它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是2，当它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是 - 3，当它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是3，……可得出当它跳完第$(2n - 1)$次时，落在数轴上的点表示的数为 - n，当它跳完第$2n$次时，落在数轴上的点表示的数为n，其中$n\geq 1$，且n为整数。当$2n - 1 = 2021$时，$n = 1011$，$-n = - 1011$。故当它跳完第2021次时，落在数轴上的点表示的数为 - 1011。
(2)① - 3　解析:因为表示 - 1的点与表示3的点重合，所以折点表示的数为$\frac{-1 + 3}{2}=1$。因为$5 - 1 = 1 - (-3)$，所以表示5的点与表示 - 3的点重合。
② - 1010　1012　解析:已知数轴上D，E两点之间的距离为2022，设点D，E表示的数分别为d，e，则$e - d = 2022$。根据
(2)①得$\frac{d + e}{2}=1$，联立两式解得$e = 1012$，$d = - 1010$，故点E表示的数为1012，点D表示的数为 - 1010。
③因为点M对应的点$M'$落在点N的右边，并且$M'N = 3$，设点$M'$表示的数为m，所以$m = 8 + 3 = 11$，所以点P表示的数为$\frac{-17 + 11}{2}=-3$，故点P表示的数为 - 3。