《2025年新课标同步单元练习七年级数学上册北师大版深圳专版》

8. 解方程：
(1)$ 8 + x = -5 $；
(2)$ 3x - 4 = 11 $；
(3)$ -\frac{1}{3}x - 5 = 4 $；
(4)$ 3x - 6 = -31 - 2x $。

答案： （1）
解：对于方程$8 + x=-5$，
根据等式的性质$1$：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。
方程两边同时减去$8$，得$x=-5 - 8$。
计算$-5−8$，根据有理数的减法法则$a - b=a+( - b)$，则$x=-13$。
（2）
解：对于方程$3x−4 = 11$，
首先根据等式的性质$1$，方程两边同时加上$4$，得$3x=11 + 4$。
计算$11 + 4=15$，即$3x = 15$。
然后根据等式的性质$2$：等式两边同时乘或除以同一个不为$0$的数，等式仍然成立。
方程两边同时除以$3$，得$x=\frac{15}{3}=5$。
（3）
解：对于方程$-\frac{1}{3}x−5 = 4$，
先根据等式的性质$1$，方程两边同时加上$5$，得$-\frac{1}{3}x=4 + 5$。
计算$4 + 5 = 9$，即$-\frac{1}{3}x=9$。
再根据等式的性质$2$，方程两边同时乘以$-3$，得$x=9×(-3)$。
计算$9×(-3)=-27$。
（4）
解：对于方程$3x−6=-31−2x$，
首先根据等式的性质$1$，方程两边同时加上$2x$，得$3x + 2x−6=-31$。
合并同类项，根据合并同类项法则$ax+bx=(a + b)x$，$3x+2x=(3 + 2)x = 5x$，即$5x−6=-31$。
然后方程两边同时加上$6$，得$5x=-31 + 6$。
计算$-31 + 6=-25$，即$5x=-25$。
最后根据等式的性质$2$，方程两边同时除以$5$，得$x=\frac{-25}{5}=-5$。
综上，（1）$x=-13$；（2）$x = 5$；（3）$x=-27$；（4）$x=-5$。

1. 我们规定能使等式 $ \frac{m}{2} + \frac{n}{4} = \frac{m + n}{2 + 4} $ 成立的一对数 $ (m, n) $ 为“好友数对”。例如当 $ m = 2 $,$ n = -8 $ 时,等式成立,则 $ (2, -8) $ 是“好友数对”。若 $ (a, 6) $ 是“好友数对”,则 $ a = $-$\frac{3}{2}$。

答案： -$\frac{3}{2}$ 解析：根据题意，可得$\frac{a}{2}+\frac{6}{4}=\frac{a+6}{2+4}$，所以$\frac{a}{2}+\frac{6}{4}=\frac{a}{2+4}+\frac{6}{2+4}$，所以$\frac{a}{2}+\frac{3}{2}=\frac{a}{6}+1$，所以$\frac{a}{2}+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=\frac{a}{6}+1-\frac{3}{2}$，所以$\frac{a}{2}=\frac{a}{6}-\frac{1}{2}$，所以$\frac{a}{2}-\frac{a}{6}=\frac{a}{6}-\frac{1}{2}-\frac{a}{6}$，所以$\frac{a}{3}=-\frac{1}{2}$，所以a=-$\frac{3}{2}$。

2. 能不能由 $ (a + 3)x = b - 1 $ 得到等式 $ x = \frac{b - 1}{a + 3} $？为什么？反之,能不能由 $ x = \frac{b - 1}{a + 3} $ 得到 $ (a + 3)x = b - 1 $？为什么？

答案： 解：不能由(a+3)x=b-1得到x=$\frac{b-1}{a+3}$，因为当a=-3时，a+3=0，而0不能为除数，即不符合等式的基本性质2的规定。 由x=$\frac{b-1}{a+3}$可以得到(a+3)x=b-1，因为x=$\frac{b-1}{a+3}$是已知条件，已知条件中隐含着条件a+3≠0，等式两边同乘同一个数，等式仍成立。

3. 先阅读下面例题的解题过程,再解答后面的题目。
例：已知代数式 $ 10 - 6y + 3y^2 = 1 $,求 $ y^2 - 2y + 5 $ 的值。
解：由 $ 10 - 6y + 3y^2 = 1 $,
得 $ -6y + 3y^2 = 1 - 10 $,
即 $ 3y^2 - 6y = -9 $,
因此 $ y^2 - 2y = -3 $,所以 $ y^2 - 2y + 5 = 2 $。
题目：已知代数式 $ 5x^2 - 8 + 15x = -3 $,求 $ 2x^2 + 6x - 3 $ 的值。

答案： 解：因为5x²-8+15x=-3，所以5x²-8+15x+8=-3+8，所以5x²+15x=5，所以x²+3x=1。 所以2x²+6x-3=2(x²+3x)-3=2×1-3=-1。