《2025年新课标同步单元练习七年级数学上册北师大版深圳专版》

1. 梳理本章内容,用适当的方式呈现全章知识结构,并与同伴交流。

答案： 1. 代数式
概念：由数和字母用运算符号连接所成的式子。
分类：有理式（整式、分式）、无理式，本章主要研究整式。
2. 整式
单项式：
定义：由数与字母的乘积组成的代数式。
系数：单项式中的数字因数。
次数：所有字母的指数和。
多项式：
定义：几个单项式的和。
项：组成多项式的每个单项式。
常数项：不含字母的项。
次数：多项式中次数最高的项的次数。
3. 整式的加减
运算法则：去括号，合并同类项。
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和指数不变。
去括号法则：
括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。
括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。

2. 阅读理解：请你参与下面探究过程,完成所提出的问题。
(1)问题引入：
如图 4 - 6①,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ O $ 是 $ \angle ABC $ 和 $ \angle ACB $ 平分线的交点,若 $ \angle A = 70° $,则 $ \angle BOC = $ 125°；若 $ \angle A = \alpha $,则 $ \angle BOC = $ $90°+\frac{1}{2}\alpha$(用含 $ \alpha $ 的代数式表示)。
(2)类比探究：
如图 4 - 6②,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle CBO = \frac{1}{3}\angle ABC $,$ \angle BCO = \frac{1}{3}\angle ACB $,$ \angle A = \alpha $。
试探究 $ \angle BOC $ 的度数(用含 $ \alpha $ 的代数式表示),并说明理由。
(3)知识拓展：
如图 4 - 6③,$ BO $,$ CO $ 分别是 $ \angle DBC $,$ \angle ECB $ 的 $ n $ 等分线,它们交于点 $ O $,$ \angle CBO = \frac{1}{n}\angle DBC $,$ \angle BCO = \frac{1}{n}\angle ECB $,$ \angle A = \alpha $,求 $ \angle BOC $ 的度数(用含 $ \alpha $,$ n $ 的代数式表示)。

答案： 解:
(1)$125^{\circ }$ $90^{\circ }+\frac {1}{2}\alpha $
解析:因为$∠A=70^{\circ }$，所以$∠ABC + ∠ACB=180^{\circ } - ∠A=110^{\circ }$。
因为点O是$∠ABC$和$∠ACB$平分线的交点，
所以$∠OBC + ∠OCB=\frac {1}{2}(∠ABC + ∠ACB)=55^{\circ }$，
所以$∠BOC=125^{\circ }$。
因为$∠A=\alpha $，所以$∠ABC + ∠ACB=180^{\circ } - ∠A=180^{\circ } - \alpha $。
因为点O是$∠ABC$和$∠ACB$平分线的交点，
所以$∠OBC + ∠OCB=\frac {1}{2}(∠ABC + ∠ACB)=90^{\circ } - \frac {1}{2}\alpha $。
所以$∠BOC=90^{\circ }+\frac {1}{2}\alpha $。
(2)$∠BOC=120^{\circ }+\frac {1}{3}\alpha $，
理由如下:
$∠BOC=180^{\circ }-(∠OBC + ∠OCB)$
$=180^{\circ }-\frac {1}{3}(∠ABC + ∠ACB)$
$=180^{\circ }-\frac {1}{3}(180^{\circ } - ∠A)$
$=120^{\circ }+\frac {1}{3}\alpha $。
(3)$∠BOC=180^{\circ }-(∠OBC + ∠OCB)$
$=180^{\circ }-\frac {1}{n}(∠DBC + ∠ECB)$
$=180^{\circ }-\frac {1}{n}(180^{\circ } + ∠A)$
$=\frac {n - 1}{n}\cdot 180^{\circ }-\frac {\alpha }{n}$。

3. 如图 4 - 7,$ P $ 是线段 $ AB $ 上一点,$ AB = 12\ cm $,$ M $,$ N $ 两点分别从点 $ P $,$ B $ 出发,分别以 $ 1\ cm/s $,$ 3\ cm/s $ 的速度同时向左运动(点 $ M $ 在线段 $ AP $ 上,点 $ N $ 在线段 $ BP $ 上),运动时间为 $ t\ s $。
(1)当点 $ M $,$ N $ 运动 $ 1\ s $,且 $ PN = 3AM $ 时,求 $ AP $ 的长度。
(2)当点 $ M $,$ N $ 运动到任一时刻时,总有 $ PN = 3AM $,$ AP $ 的长度是否发生变化？若不变,请求出 $ AP $ 的长度；若变化,请说明理由。
(3)在(2)的条件下,$ Q $ 是直线 $ AB $ 上一点,且 $ AQ = PQ + BQ $,求 $ PQ $ 的长度。

答案：
解:
(1)根据M，N的运动速度可知$BN = 3\mathrm{cm}$，$PM = 1\mathrm{cm}$。
因为$AM + MP + PN + BN = AB$，且$PN = 3AM$，
所以$AM + 1 + 3AM + 3 = 12$，
所以$AM = 2\mathrm{cm}$，所以$AP = 3\mathrm{cm}$。
(2)AP的长度不发生变化。
根据M，N的运动速度可知$BN = 3PM$。
因为$AM + MP + PN + BN = AB$，且$PN = 3AM$，
所以$4AM + 4PM = 12$，
所以$AP = 3\mathrm{cm}$。
(3)当Q在线段AB上时，如答图4 - 3所示:
因为$AQ = PQ + BQ$，$AQ = AP + PQ$，
所以$AP = BQ$，
所以$PQ = AB - AP - BQ = 6(\mathrm{cm});$
当点Q在线段AB的延长线上时，
因为$AQ = PQ + BQ$，$AQ = AP + PQ$，
所以$BQ = AP = 3\mathrm{cm}$，
所以$PQ = PB + BQ = AB - AP + BQ = 12 - 3 + 3 = 12(\mathrm{cm})$。
综上所述，$PQ = 6\mathrm{cm}$或$12\mathrm{cm}$。